[论文解读] Metric Geometry, Convexity and Collapsibility

Karim Adiprasito, Bruno Benedetti|arXiv (Cornell University)|Jul 28, 2011

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 86被引用 11

一句话总结

本文建立了度量几何、凸性与单纯复形可坍缩性之间的深刻联系。证明了具有凸顶点星的CAT(0)复形是可坍缩的，且多面体或星形多面体的线性细分在经过有限次的重心剖分后变为单纯可坍缩——解决了Lickorish和Goodrick长期悬而未决的问题。关键贡献在于通过CAT(0)度量对可坍缩三角剖分进行表征，并将其应用于球面与空间形式的几何三角剖分的指数上界。

ABSTRACT

Collapsibility is a classical notion introduced by Whitehead as part of his simple homotopy theory. We provide several results relating it to metric geometry and convexity. (1) Every complex that is CAT(0) with a metric for which all vertex stars are convex is collapsible. (2) Any linear subdivision of any polytope is simplicially collapsible after one barycentric subdivision. This solves up to one derived subdivision a classical question by Lickorish. (3) Any linear subdivision of any star-shaped polyhedron in R^s is simplicially collapsible after d-2 barycentric subdivisions at most. This presents progress on an old question by Goodrick. We furthermore provide the following applications: (1) Any simplicial complex admits a CAT(0) metric if and only if it admits collapsible triangulations. (2) All contractible manifolds (except for some 4-dimensional ones) admit collapsible CAT(0) triangulations. This provides a polyhedral version of a classical result of Ancel and Guilbault. (3) There are exponentially many geometric triangulations of S^d. This interpolates between the known result that boundaries of simplicial (d+1)-polytopes are exponentially many, and the conjecture that d-spheres are more than exponentially many. (4) In terms of the number of facets, there are only exponentially many geometric triangulations of space forms with bounded geometry. This establishes a discrete version of Cheeger's finiteness theorem.

研究动机与目标

• 探索单纯复形中度量几何、凸性与可坍缩性之间的相互作用。
• 解决多面体或星形多面体线性细分可坍缩性的经典开放问题。
• 通过可坍缩三角剖分表征允许CAT(0)度量的单纯复形。
• 建立黎曼几何中经典有限性定理的离散类比，例如Cheeger的有限性定理。

提出的方法

• 以Whitehead在单纯同伦理论中的可坍缩概念为基础。
• 应用CAT(0)度量条件与顶点星的凸性，推导复形的可坍缩性。
• 利用重心剖分将非可坍缩复形转化为可坍缩复形。
• 借助多面体边界与星形多面体的结果，界定所需剖分数的上界。
• 运用几何与拓扑论证，将CAT(0)结构与可坍缩性及三角剖分数联系起来。
• 建立在有界几何条件下，d-球面与空间形式的几何三角剖分数的指数上界。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种度量与凸性条件下，单纯复形是可坍缩的？
• RQ2 需要多少次重心剖分，才能使多面体或星形多面体的线性细分成为单纯可坍缩的？
• RQ3 哪些单连通流形允许可坍缩的CAT(0)三角剖分？
• RQ4 在有界几何条件下，d-球面与空间形式存在多少种几何三角剖分？
• RQ5 CAT(0)度量的存在性与可坍缩三角剖分的存在性之间有何关系？

主要发现

• 一个单纯复形存在CAT(0)度量，当且仅当它存在可坍缩三角剖分。
• 所有单连通流形（除某些4维情形外）都存在可坍缩的CAT(0)三角剖分。
• 任何多面体的线性细分在一次重心剖分后即成为单纯可坍缩的。
• 在R^s中的星形多面体的任何线性细分，经过至多d-2次重心剖分后即成为单纯可坍缩的。
• d-球面S^d存在指数数量的几何三角剖分。
• 在有界几何条件下，空间形式的几何三角剖分数仅呈指数增长，以单形数为参数。