[论文解读] Metric Geometry of Spaces of Persistence Diagrams

Mauricio Che, Fernando Galaz‐García+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 29, 2021

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 23被引用 4

一句话总结

本文通过引入将度量对 $(X,A)$ 映射到带基点度量空间 $\mathcal{D}_p(X,A)$ 的函子 $\mathcal{D}_p$，为持久图的度量几何框架奠定了基础，证明了当 $p=2$ 时，该空间具有序列连续性、完备性、可分性、测地线性以及非负曲率。关键结果是欧几里得持久图空间 $\mathcal{D}_2(\mathbb{R}^{2n}, \Delta_n)$ 具有无限覆盖维数、Hausdorff维数和渐近维数。

ABSTRACT

Persistence diagrams are objects that play a central role in topological data analysis. In the present article, we investigate the local and global geometric properties of spaces of persistence diagrams. In order to do this, we construct a family of functors $\mathcal{D}_p$, $1\leq p \leq\infty$, that assign, to each metric pair $(X,A)$, a pointed metric space $\mathcal{D}_p(X,A)$. Moreover, we show that $\mathcal{D}_{\infty}$ is sequentially continuous with respect to the Gromov-Hausdorff convergence of metric pairs, and we prove that $\mathcal{D}_p$ preserves several useful metric properties, such as completeness and separability, for $p \in [1,\infty)$, and geodesicity and non-negative curvature in the sense of Alexandrov, for $p=2$. For the latter case, we describe the metric of the space of directions at the empty diagram. We also show that the Fréchet mean set of a Borel probability measure on $\mathcal{D}_p(X,A)$, $1\leq p \leq\infty$, with finite second moment and compact support is non-empty. As an application of our geometric framework, we prove that the space of Euclidean persistence diagrams, $\mathcal{D}_{p}(\mathbb{R}^{2n},Δ_n)$, $1\leq n$ and $1\leq p<\infty$, has infinite covering, Hausdorff, asymptotic, Assouad, and Assouad-Nagata dimensions.

研究动机与目标

• 开发一个系统性的几何框架，用于推广欧几里得设定之外的持久图广义空间。
• 研究持久图空间的局部与全局度量性质，如完备性、可分性、测地线性与曲率。
• 建立Fréchet均值集存在的条件，并证明其非空，针对具有有限二阶矩的测度。
• 确定欧几里得持久图空间的渐近维数、覆盖维数与Hausdorff维数。
• 将已知的 $p$-Wasserstein 度量与Alexandrov几何结果推广至更广泛的度量对类。

提出的方法

• 构建一族函子 $\mathcal{D}_p$，将度量对 $(X,A)$ 映射到带基点度量空间 $\mathcal{D}_p(X,A)$，推广持久图上的 $p$-Wasserstein 度量。
• 证明 $\mathcal{D}_\infty$ 关于度量对的Gromov–Hausdorff收敛具有序列连续性。
• 证明对于 $p \in [1,\infty)$，$\mathcal{D}_p$ 保持底层度量对 $(X,A)$ 的完备性与可分性；对于 $p=2$，保持测地线性与非负曲率（Alexandrov 意义）。
• 通过嵌入到 $\mathcal{D}_2(X,A)$ 的双Lipschitz 映射，将维数性质从更简单的空间（如 $[0,\infty)^N / S_N$）转移至复杂空间。
• 应用渐近维数理论结果，特别是关于等距群作用与商映射的不变性。
• 利用 $\mathcal{D}_2([0,\infty), \{0\})$ 具有无限渐近维数的事实，并通过 $C$-双Lipschitz 映射将其性质提升至更复杂的度量空间。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何系统性地将持久图的度量几何推广至欧几里得空间之外？
• RQ2 在何种条件下，空间 $\mathcal{D}_p(X,A)$ 是完备的、可分的或测地线的？
• RQ3 空间 $\mathcal{D}_2(X,A)$ 在Alexandrov 意义下是否具有非负曲率？
• RQ4 $\mathcal{D}_2(\mathbb{R}^{2n}, \Delta_n)$ 的渐近维数、覆盖维数与Hausdorff维数分别是多少？
• RQ5 在何种条件下，$\mathcal{D}_p(X,A)$ 上具有Borel概率测度且具有有限二阶矩的Fréchet均值集存在且非空？

主要发现

• 函子 $\mathcal{D}_\infty$ 关于度量对的Gromov–Hausdorff收敛具有序列连续性。
• 对于 $p \in [1,\infty)$，$\mathcal{D}_p$ 保持底层度量对 $(X,A)$ 的完备性与可分性。
• 当 $p=2$ 时，$\mathcal{D}_2(X,A)$ 是一个具有非负曲率（Alexandrov 意义）的测地线空间。
• 任何具有有限二阶矩与紧致支集的Borel概率测度在 $\mathcal{D}_p(X,A)$ 上的Fréchet均值集均非空。
• $\mathcal{D}_2([0,\infty), \{0\})$ 具有无限渐近维数，因为其等距同构于任意 $N$ 的 $[0,\infty)^N / S_N$。
• 空间 $\mathcal{D}_2(\mathbb{R}^{2n}, \Delta_n)$、$\mathcal{D}_2(\mathbb{R}^{2n}_+, \Delta_n)$ 与 $\mathcal{D}_2(\mathbb{R}^{2n}_{\geq 0}, \Delta_n)$ 均具有无限覆盖维数、Hausdorff维数与渐近维数。