[论文解读] Metric Lie groups admitting dilations

Enrico Le Donne, Sebastiano Nicolussi Golo|arXiv (Cornell University)|Jan 8, 2019

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 20被引用 8

一句话总结

本文研究了在存在一参数度量膨胀群的李群上左不变的距离，证明此类距离始终是可接受的（诱导出流形拓扑），并刻画了此类距离存在的代数条件。主要贡献在于对生成此类膨胀的导子进行了完整刻画，表明存在性意味着李群是连通、单连通且幂零的，且其无穷小生成元具有谱约束。

ABSTRACT

We consider left-invariant distances $d$ on a Lie group $G$ with the property that there exists a multiplicative one-parameter group of Lie automorphisms $(0, \infty) ightarrow\mathtt{Aut}(G)$, $λ\mapstoδ_λ$, so that $ d(δ_λx,δ_λy) = λd(x,y)$, for all $x,y\in G$ and all $λ>0$. First, we show that all such distances are admissible, that is, they induce the manifold topology. Second, we characterize multiplicative one-parameter groups of Lie automorphisms that are dilations for some left-invariant distance in terms of algebraic properties of their infinitesimal generator. Third, we show that an admissible left-invariant distance on a Lie group with at least one nontrivial dilating automorphism is biLipschitz equivalent to one that admits a one-parameter group of dilating automorphisms. Moreover, the infinitesimal generator can be chosen to have spectrum in $[1,\infty)$. Fourth, we characterize the automorphisms of a Lie group that are a dilating automorphisms for some admissible distance. Finally, we characterize metric Lie groups admitting a one-parameter group of dilating automorphisms as the only locally compact, isometrically homogeneous metric spaces with metric dilations of all factors. Such metric spaces appear as tangents of doubling metric spaces with unique tangents.

研究动机与目标

• 刻画在存在一参数度量膨胀群的李群上左不变的距离。
• 确定此类膨胀的无穷小生成元的必要且充分代数条件，以保证相关距离的存在。
• 证明任何具有至少一个非平凡膨胀自同构的可接受左不变距离，均与具有一个一参数膨胀群的距离存在双利普希茨等价。
• 识别哪些李群自同构可作为某些可接受距离的膨胀自同构。
• 将具有一个一参数膨胀自同构群的度量李群刻画为唯一具有所有缩放因子度量膨胀的局部紧致、等距齐次度量空间。

提出的方法

• 利用李自同构的一参数群理论，通过导子 $A \in \mathrm{Der}(\mathfrak{g})$ 定义 $A$-齐次距离。
• 通过分析 $\delta_\lambda = \lambda^A$ 在群上的作用，证明 $A$-齐次距离是可接受的（诱导出流形拓扑）。
• 利用 $A$ 的广义特征子空间所诱导的分次结构和谱条件，刻画 $A$-齐次距离的存在性。
• 应用若尔当代数-谢瓦莱分解，将 $A$ 的半单部分与幂零部分分离，并分析其结构。
• 利用双利普希茨等价性，将一般 $A$-齐次距离约化为谱为实数的情形，特别是当 $A$ 在 $\mathbb{C}$ 上可对角化时。
• 构造反例以表明并非所有 $A$-齐次距离都源于谱为实数的生成元，使用具有复特征值的非对角化 $A$。

实验结果

研究问题

• RQ1 在导子 $A$ 满足何种代数条件时，李群 $G$ 上存在 $A$-齐次距离？
• RQ2 任何具有非平凡膨胀自同构的可接受左不变距离，是否均与存在一参数膨胀群的距离双利普希茨等价？
• RQ3 哪些李群自同构可作为某些可接受距离的膨胀自同构？
• RQ4 具有一个一参数膨胀自同构群的度量李群的内在几何特征是什么？
• RQ5 是否存在具有度量膨胀但不与任何谱为实数的生成元 $A$ 的 $A$-齐次空间等距的度量空间？

主要发现

• 李群 $G$ 上的任意 $A$-齐次距离都是可接受的，即诱导出流形拓扑，因此 $G$ 必须是连通的。
• $A$-齐次距离在 $G$ 上存在的充要条件是：$G$ 连通且单连通，对所有 $t < 1$ 有 $V_t = 0$，且 $A|_{V_1}$ 在 $\mathbb{C}$ 上可对角化。
• 若 $A$ 的谱位于直线 $1 + i\mathbb{R}$ 上，则任意 $A$-齐次距离也是 $\mathrm{Id}$-齐次的，即其为阿贝尔群上的范数。
• 存在局部紧致、等距齐次的度量空间，具有度量膨胀，但不与任何谱为实数的生成元 $A$ 的 $A$-齐次空间等距，从而证明复谱的必要性。
• 任何具有至少一个非平凡膨胀自同构的可接受左不变距离，均与一个存在一参数膨胀自同构群且生成元谱位于 $[1, \infty)$ 的距离双利普希茨等价。
• 具有一个一参数膨胀自同构群的度量李群，正是唯一具有所有缩放因子度量膨胀的局部紧致、等距齐次度量空间，且它们作为具有唯一切空间的双倍度量空间的切空间出现。