[论文解读] Metric-locating-dominating partitions in graphs

Carmen Hernando, Mercè Ferrater Mora+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 3, 2017

Graph Labeling and Dimension Problems参考文献 17被引用 2

一句话总结

本文引入了图中度量定位支配划分的概念，定义了两个新的图不变量：划分度量定位支配数 $\sigma_p(G)$ 和划分维数 $s_p(G)$。证明了对所有连通图均有 $\sigma_p(G) = s_p(G) + 1$，并完全刻画了所有阶数为 7 且满足 $\sigma_p(G) = n-1$、$\sigma_p(G) = n-2$ 或 $s_p(G) = n-2$ 的连通图，同时为这两个不变量建立了紧致的 Nordhaus-Gaddum 不等式。

ABSTRACT

A partition ? = { S 1 ,...,S k } of the vertex set of a connected graph G is a metric-locating partition of G if for every pair of vertices u,v belonging to the same part S i , d ( u,S j ) 6 = d ( v,S j ), for some other part S j . The partition dimension s p ( G ) is the minimum cardinality of a metric- locating partition of G . A metric-locating partition ? is called metric-locating-dominanting if for every vertex v of G , d ( v,S j ) = 1, for some part S j of ?. The partition metric-location-domination number ? p ( G ) is the minimum cardinality of a metric-locating-dominating partition of G . In this paper we show, among other results, that s p ( G ) = ? p ( G ) = s p ( G ) + 1. We also charac- terize all connected graphs of order n = 7 satisfying any of the following conditions: ? p ( G ) = n - 1, ? p ( G ) = n - 2 and s p ( G ) = n - 2. Finally, we present some tight Nordhaus-Gaddum bounds for both the partition dimension s ( G ) and the partition metric-location-domination number ? ( G ). Keywords: dominating partition, locating partition, location, domination, metric location

研究动机与目标

• 定义并研究连通图中的度量定位支配划分。
• 引入并分析两个新的图不变量：划分度量定位支配数 $\sigma_p(G)$ 和划分维数 $s_p(G)$。
• 完全刻画所有阶数为 $n = 7$ 且满足 $\sigma_p(G) = n-1$、$\sigma_p(G) = n-2$ 或 $s_p(G) = n-2$ 的连通图。
• 为 $s_p(G)$ 和 $\sigma_p(G)$ 建立紧致的 Nordhaus-Gaddum 不等式。
• 阐明 $\sigma_p(G)$ 与 $s_p(G)$ 之间的关系，证明 $\sigma_p(G) = s_p(G) + 1$。

提出的方法

• 将度量定位划分定义为一种顶点划分，使得同一部分中的顶点可通过其到其他部分的距离被区分。
• 通过要求每个顶点至少与划分中的一个部分相邻，引入度量定位支配划分。
• 利用基于距离的准则，确保划分同时具备定位与支配性质。
• 应用极值图论技术，对阶数为 7 的所有连通图按 $\sigma_p(G)$ 和 $s_p(G)$ 的特定取值进行分类。
• 通过分析图与其补图的不变量之和与积，推导出 Nordhaus-Gaddum 型不等式。
• 通过图划分的结构与基于距离的论证，建立恒等式 $\sigma_p(G) = s_p(G) + 1$。

实验结果

研究问题

• RQ1 划分度量定位支配数 $\sigma_p(G)$ 与划分维数 $s_p(G)$ 之间存在何种关系？
• RQ2 阶数为 $n = 7$ 的哪些连通图满足 $\sigma_p(G) = n-1$、$\sigma_p(G) = n-2$ 或 $s_p(G) = n-2$？
• RQ3 $s_p(G)$ 和 $\sigma_p(G)$ 的紧致 Nordhaus-Gaddum 不等式是什么？
• RQ4 度量定位支配划分的性质与标准定位或支配划分有何不同？
• RQ5 恒等式 $\sigma_p(G) = s_p(G) + 1$ 是否对所有连通图普遍成立？

主要发现

• 本文证明了对每个连通图 $G$，划分度量定位支配数满足 $\sigma_p(G) = s_p(G) + 1$。
• 所有阶数为 $n = 7$ 且满足 $\sigma_p(G) = n-1$ 的连通图均被完全刻画。
• 所有阶数为 $n = 7$ 且满足 $\sigma_p(G) = n-2$ 的连通图均被完全刻画。
• 所有阶数为 $n = 7$ 且满足 $s_p(G) = n-2$ 的连通图均被完全刻画。
• 为 $s_p(G)$ 和 $\sigma_p(G)$ 建立了紧致的 Nordhaus-Gaddum 不等式，提供了图与其补图的不变量之和与积的精确不等式。
• 结果表明，度量定位支配划分是比度量定位划分更强的条件，这在不变量的 $+1$ 偏移中得以体现。