[论文解读] Metric operator for the imaginary cubic oscillator does not exist

Petr Siegl, David Krejčiřı́k|arXiv (Cornell University)|Aug 9, 2012

Quantum Mechanics and Non-Hermitian Physics被引用 3

一句话总结

本文证明了PT对称的虚数立方振子缺乏有界且有界可逆的度量算符，原因在于其本征矢构成一个完备但非Riesz基，导致度量本质上是奇异的。因此，无法通过有界相似变换构造出标准的量子力学哈密顿量，进而导致谱不稳定性和非平凡伪谱。

ABSTRACT

We show that the eigenvectors of the PT-symmetric imaginary cubic oscillator are complete, but do not form a Riesz basis. This results in the existence of a bounded metric operator having intrinsic singularity reflected in the inevitable unboundedness of the inverse. Moreover, the existence of non-trivial pseudospectrum is observed. In other words, there is no quantum-mechanical Hamiltonian associated with it via bounded and boundedly invertible similarity transformations. These results open new directions in physical interpretation of PT-symmetric models with intrinsically singular metric, since their properties are essentially different with respect to self-adjoint Hamiltonians, for instance, due to spectral instabilities.

研究动机与目标

• 研究PT对称虚数立方振子是否存在有界度量算符。
• 确定哈密顿量的本征矢是否构成Riesz基，这将意味着度量结构表现良好。
• 分析PT对称量子系统中内在奇异度量的物理影响。
• 探讨伪谱的存在及其对非自伴哈密顿量谱稳定性的影响。

提出的方法

• 分析PT对称区域内虚数立方振子哈密顿量的谱性质。
• 证明本征矢完备但不构成Riesz基，表明均匀Riesz基条件不成立。
• 推导度量算符的有界性以及其逆算符不可避免的无界性，揭示其内在奇异本质。
• 使用谱理论研究伪谱，以检测非平凡的谱不稳定性。
• 使用泛函分析工具评估将系统通过有界相似变换转化为自伴哈密顿量的可行性。

实验结果

研究问题

• RQ1 虚数立方振子是否允许存在有界度量算符，从而实现与自伴哈密顿量的酉等价？
• RQ2 虚数立方振子的本征矢在希尔伯特空间中是否构成Riesz基？
• RQ3 当度量算符有界但其逆算符无界时，会产生何种后果？
• RQ4 非平凡伪谱的存在如何影响该模型的物理诠释？
• RQ5 该系统能否通过有界且有界可逆的相似变换，描述为标准的量子力学哈密顿量？

主要发现

• 虚数立方振子的本征矢在希尔伯特空间中完备，但不构成Riesz基。
• 存在有界度量算符，但其逆算符必然无界，表明存在内在奇异。
• 该系统无法通过有界且有界可逆的相似变换转化为自伴哈密顿量，因而无法实现量子力学描述。
• 存在非平凡伪谱，表明谱不稳定且偏离自伴行为。
• 结果表明，具有内在奇异度量的PT对称模型在物理性质上与自伴系统有本质不同，尤其是在谱鲁棒性方面。