[论文解读] Metric projection and convergence theorems for nonexpansive mappings in Hadamard spaces

Hossein Dehghan, Jamal Rooin|arXiv (Cornell University)|Oct 5, 2014

Optimization and Variational Analysis参考文献 5被引用 24

一句话总结

本文通过拟线性化方法，建立了哈达姆空间中度量投影的变分表征，证明了 $ u = P_C x $ 当且仅当对所有 $ y \in C $，有 $ \langle \overrightarrow{xu}, \overrightarrow{uy} \rangle \geq 0 $。随后，提出了两种带有扰动的迭代算法，其强收敛于非扩张映射的不动点集上的度量投影。

ABSTRACT

For a nonempty convex subset $C$ of a Hadamard space $X$, it is proved that $u=P_Cx$ if and only if $\langle\overrightarrow{xu},\overrightarrow{uy} angle \geqslant0$ for all $y\in C$. As an application of this characterization, we prove strong convergence of two iterative algorithms with perturbations for nonexpansive mappings.

研究动机与目标

• 通过拟线性化方法，建立哈达姆空间中度量投影的变分不等式表征。
• 将巴拿赫空间中非扩张映射的收敛结果推广至缺乏线性结构的哈达姆空间。
• 设计带有扰动的迭代算法，确保在哈达姆空间中强收敛于不动点。
• 证明迭代序列强收敛于给定初始点到不动点集的最近点。
• 为在非正曲率度量空间中的非线性分析与优化应用迭代方法提供基础。

提出的方法

• 使用拟线性化替代哈达姆空间中的内积，定义 $ \langle \overrightarrow{ab}, \overrightarrow{cd} \rangle = \frac{1}{2}(d^2(a,d) + d^2(b,c) - d^2(a,c) - d^2(b,d)) $。
• 证明 $ u = P_C x $ 当且仅当对所有 $ y \in C $，有 $ \langle \overrightarrow{xu}, \overrightarrow{uy} \rangle \geq 0 $，推广了希尔伯特空间中的投影表征。
• 提出两种迭代算法：一种涉及带扰动的凸组合，另一种采用带参数的两步迭代格式。
• 应用广义半闭性原理及CAT(0)空间中的柯西-施瓦茨不等式，以控制收敛行为。
• 采用刘的引理及形式为 $ d^2(x_{n+1}, q) \leq (1 - \gamma_n)d^2(x_n, q) + \gamma_n \delta_n + \sigma_n $ 的递推不等式，证明收敛性。
• 利用序列有界性与渐近正则性，确保序列极限存在且属于不动点集。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过拟线性化在哈达姆空间中建立度量投影的变分不等式条件？
• RQ2 如何设计非扩张映射的迭代算法，以确保在哈达姆空间中实现强收敛？
• RQ3 参数与扰动需满足何种条件，才能保证迭代序列收敛于不动点集？
• RQ4 迭代序列的极限是否为初始点到不动点集的最近点？
• RQ5 能否将希尔伯特/巴拿赫空间中的收敛结果推广至非线性、非正曲率的度量空间，如哈达姆空间？

主要发现

• 哈达姆空间中度量投影 $ P_C x $ 满足：对所有 $ y \in C $，有 $ \langle \overrightarrow{xu}, \overrightarrow{uy} \rangle \geq 0 $ 当且仅当 $ u = P_C x $，从而提供了变分表征。
• 由 $ x_{n+1} = (1 - \beta_n)y_n \oplus \beta_n z_n $ 定义的迭代算法，其中 $ y_n = \alpha_n o \oplus (1 - \alpha_n)Tx_n $ 且 $ z_n = Tx_n $，强收敛于 $ P_{F(T)}o $。
• 第二个算法，其中 $ x_{n+1} = (1 - \beta_n)x_n \oplus \beta_n (\alpha_n u_n \oplus (1 - \alpha_n)Tx_n) $，在类似条件下也强收敛于同一极限。
• 极限点 $ q $ 满足对所有 $ p \in F(T) $，有 $ \langle \overrightarrow{qo}, \overrightarrow{qp} \rangle \leq 0 $，确认 $ q = P_{F(T)}o $，即 $ o $ 在不动点集上的度量投影。
• 收敛性在以下条件下得到保证：$ \gamma_n = \beta_n \alpha_n $，$ \sum \gamma_n = \infty $，$ \gamma_n \to 0 $，$ \delta_n \to 0 $，且 $ \sum \sigma_n < \infty $，符合刘的引理。
• 证明依赖于CAT(0)空间中的柯西-施瓦茨不等式，以及使用拟线性化替代线性空间中的内积恒等式。