[论文解读] Metric properties of mean wiggly continua

Jacek Graczyk, Peter W. Jones+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 29, 2012

Holomorphic and Operator Theory参考文献 14被引用 3

一句话总结

本文引入了均值波浪连续集——即在小尺度上足够频繁波动的连续集——的概念，通过$β$-数的积分估计来建立豪斯多夫维数的下界。通过构造具有可控衰减的博雷尔概率测度，证明此类连续集的豪斯多夫维数严格大于1，将先前的均匀波浪性结果推广至非均匀、基于均值的条件。

ABSTRACT

We study lower and upper bounds of the Hausdorff dimension for sets which are wiggly at scales of positive density. The main technical ingredient is a construction, for every continuum K, of a Borel probabilistic measure μwith the property that on every ball B(x,r), with x in K, the measure is bounded by a universal constant multiple of r\exp(-g(x,r)), where g(x,r) > 0 is an explicit function. The continuum K is mean wiggly at exactly those points x in K where g(x, r) has a logarithmic growth to infinity as r goes to 0. The theory of mean wiggly continua leads, via the product formula for dimensions, to new estimates of the Hausdorff dimension for Cantor sets. We prove also that asymptotically flat sets are of Hausdorff dimension 1 and that asymptotically non-porous continua are of the maximal dimension. Another application of the theory is geometric Bowen's dichotomy for Topological Collet-Eckmann maps in rational dynamics. In particular, mean wiggly continua are dynamically natural as they occur as Julia sets of quadratic polynomials for parameters from a generic set on the boundary of the Mandelbrot set.

研究动机与目标

• 将基于均匀波浪性的维数估计推广至非均匀、基于均值的条件。
• 开发一种测度论工具，以在所有尺度上根据波浪性控制局部质量的衰减。
• 为在正尺度密度下具有振荡几何结构的连续集建立精确的维数估计。
• 将该理论应用于动力系统，特别是曼德布罗特集边界上的二次多项式朱利亚集。
• 证明渐近平坦集的维数为1，且渐近非多孔连续集达到最大维数。

提出的方法

• 在波浪子集$Z \subset K$上构造一个博雷尔概率测度$\mu$，使得对所有$x \in Z$和$r > 0$，有$\mu(B(x,r)) \leq c' r \exp(-c \int_r^{\mathrm{diam}\,K} \beta_K^2(x,t) \frac{dt}{t})$。
• 使用类似科罗纳的分解技术，根据$β$-数积分控制测度的衰减。
• 将均值波浪连续集定义为满足$\liminf_{r \to 0} \frac{1}{-\log r} \int_r^{\mathrm{diam}\,K} \beta_K^2(x,t) \frac{dt}{t} > 0$的集合。
• 应用豪斯多夫维数的乘积公式来估计康托集的维数。
• 利用测度构造证明均值波浪连续集满足$\dim_H(K) > 1$。
• 将该框架应用于证明拓扑科列特-艾肯曼映射的几何鲍温二分法，并表明曼德布罗特集边界$\partial\mathcal{M}$上的二次多项式朱利亚集是均值波浪的。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为仅在尺度上平均波动的连续集建立豪斯多夫维数的下界，而非均匀波动？
• RQ2 积分$\beta_K^2(x,t)$与连续集豪斯多夫维数之间是否存在精确关系？
• RQ3 均值波浪连续集理论能否应用于复动力系统中的朱利亚集，特别是曼德布罗特集边界上的朱利亚集？
• RQ4 渐近平坦集是否必然具有豪斯多夫维数1，且渐近非多孔连续集是否达到最大维数？
• RQ5 具有可控衰减的测度$\mu$的测度论构造如何与底层连续集的几何结构相关联？

主要发现

• 对于任意直径为1的连续集$K$，存在一个支撑于波浪子集$Z \subset K$上的博雷尔概率测度$\mu$，使得对所有$x \in Z$和$r > 0$，有$\mu(B(x,r)) \leq c' r \exp(-c \int_r^{\mathrm{diam}\,K} \beta_K^2(x,t) \frac{dt}{t})$。
• 若对所有$x \in K \setminus E$满足$\mathcal{H}^1(E) < \infty$，有$\liminf_{r \to 0} \frac{1}{-\log r} \int_r^{\mathrm{diam}\,K} \beta_K^2(x,t) \frac{dt}{t} \geq \beta_0^2 > 0$，则存在绝对常数$c > 0$，使得$\dim_H(K) \geq 1 + c\beta_0^2$。
• 在更弱的条件$\liminf_{r \to 0} \frac{1}{-\log r} \int_r^{\mathrm{diam}\,K} \beta_K^2(x,t) \frac{dt}{t} > 0$下，维数估计仍然成立，意味着$\dim_H(K) > 1$。
• 渐近平坦集的豪斯多夫维数恰好为1。
• 渐近非多孔连续集具有最大豪斯多夫维数。
• 曼德布罗特集边界$\partial\mathcal{M}$上的二次多项式朱利亚集是均值波浪的，因此其维数大于1，证实了其动力学自然性。