[论文解读] Metric properties of semialgebraic mappings

Krzysztof Kurdyka, Stanisław Spodzieja+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 16, 2014

Advanced Differential Equations and Dynamical Systems参考文献 17被引用 4

一句话总结

本文在半代数集与映射的背景下，建立了 Łojasiewicz 指数的有效上界与下界，证明了在闭半代数集 $ X \subset \mathbb{R}^n $ 上，对于过定域的半代数映射 $ F: X \to \mathbb{R}^m $（其中 $ m > \dim X $），其局部与全局 Łojasiewicz 指数与复合映射 $ L \circ F: X \to \mathbb{R}^k $ 的指数一致，其中 $ k = \dim X $，且 $ L $ 为一般线性映射。结果将复解析估计推广至实半代数情形，并给出了基于次数的显式界。

ABSTRACT

We give an effective estimation from above for the local Łojasiewicz exponent for separation of semialgebraic sets and for a semialgebraic mapping on a closed semialgebraic set. We also give an effective estimation from below of the Łojasiewicz exponent in the global separation for semialgebraic sets and estimation of the Łojasiewicz exponent at infinity of a semialgebraic mapping similar to the Jelonek result in the complex case.

研究动机与目标

• 将全局与局部 Łojasiewicz 指数估计从复代数几何推广至实半代数设定。
• 为涉及半代数集的分离问题中的 Łojasiewicz 指数提供基于次数的有效上界与下界。
• 建立过定半代数映射 $ F: X \to \mathbb{R}^m $ 的 Łojasiewicz 指数与一般线性映射 $ L: \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^k $ 的复合映射 $ L \circ F: X \to \mathbb{R}^k $ 的 Łojasiewicz 指数相等，其中 $ k = \dim X $。
• 将 Jelonek、Cygan 与 Kollár 的经典结果推广至实半代数情形，并实现有效的定量控制。

提出的方法

• 通过定义多项式的次数分析，推导出闭半代数集上半代数集分离问题及半代数映射的局部 Łojasiewicz 指数的有效上界。
• 建立半代数分离问题中全局 Łojasiewicz 指数及半代数映射在无穷远处的全局 Łojasiewicz 指数的有效下界，类比于 Jelonek 的复结果。
• 利用一般线性投影 $ L: \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^k $（其中 $ k = \dim X $）将过定映射 $ F: X \to \mathbb{R}^m $ 约化为最小维数的映射 $ L \circ F: X \to \mathbb{R}^k $。
• 利用 Zariski 开性与一般线性映射的稠密性，确保 $ F $ 与 $ L \circ F $ 在局部及无穷远处的零点集与渐近行为一致。
• 应用半代数几何中的结果，包括半代数集上映射的正规性及一般线性投影的性质，将 $ F $ 与 $ L \circ F $ 的 Łojasiewicz 指数关联起来。
• 通过距离零点集与映射范数的不等式，比较 $ |F(x)| $ 与 $ |L(F(x))| $，利用比较常数建立 Łojasiewicz 指数的等价性。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于两个半代数集的分离或闭半代数集上半代数映射的局部 Łojasiewicz 指数，可给出何种有效的上界？
• RQ2 在半代数集的分离问题或半代数映射在无穷远处的 Łojasiewicz 指数中，可建立何种有效的下界？
• RQ3 过定半代数映射 $ F: X \to \mathbb{R}^m $ 的 Łojasiewicz 指数与一般线性映射 $ L $ 的复合映射 $ L \circ F: X \to \mathbb{R}^k $ 的 Łojasiewicz 指数有何关系？
• RQ4 能否以定义多项式的次数为基准，对半代数映射在无穷远处的 Łojasiewicz 指数给出下界，从而将复结果推广至实情形？

主要发现

• 基于定义多项式的次数，建立了半代数集分离及闭半代数集上半代数映射的局部 Łojasiewicz 指数的有效上界。
• 推导出半代数集分离问题中全局 Łojasiewicz 指数的有效下界，类比于 Jelonek 的复结果，但适用于实半代数设定。
• 对于半代数映射 $ F: X \to \mathbb{R}^m $，其在无穷远处的 Łojasiewicz 指数以定义 $ F $ 与 $ X $ 的多项式次数为基准给出下界，推广了 Cygan 与 Jelonek 的复估计结果。
• 对于过定半代数映射 $ F: X \to \mathbb{R}^m $（其中 $ m > \dim X $），其局部与全局 Łojasiewicz 指数与一般线性映射 $ L: \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^k $（$ k = \dim X $）的复合映射 $ L \circ F $ 的指数相等。
• 当 $ F^{-1}(0) $ 紧致时，半代数映射 $ F $ 在无穷远处的 Łojasiewicz 指数在一般线性投影 $ L $ 下保持不变，且其下界由依赖于次数的表达式控制。
• 通过半代数几何中的一般性与正规性论证，比较范数与零点集，证明了 $ F $ 与 $ L \circ F $ 的 Łojasiewicz 指数等价。