[论文解读] Metric Subregularity of Subdifferential and KL Property of Exponent 1/2

Shaohua Pan, Dongdong Zhang+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 3, 2018

Optimization and Variational Analysis被引用 4

一句话总结

本文建立了关于临界集的极限次微分的度量退化性与凸下确界下半连续函数的指数 1/2 的 Kurdyka-Łojasiewicz（KL）性质之间的深层联系。对于凸函数，这两个性质是等价的；在非凸情况下，指数 1/2 的 KL 性质结合临界集上的二次增长性蕴含度量退化性，而在原问题下良好性（primal-lower-niceness）和驻点值假设下，反之亦成立。

ABSTRACT

For a proper lower semicontinuous function, we study the relations between the metric subregularity of its limiting subdifferential relative to the critical set and the KL property of exponent 1/2. When the function is convex, we establish the equivalence between them. When the function is nonconvex, we show that the KL property of exponent 1/2 along with the quadratic growth on the critical set implies the metric subregularity of the subdifferential relative to the critical set; and if the function is primal-lower-nice, under an assumption on stationary values, the latter implies the former. These results provide a bridge for the two kinds of regularity and contribute to enriching each other.

研究动机与目标

• 阐明关于临界集的极限次微分的度量退化性与指数 1/2 的 KL 性质之间的关系。
• 研究在凸情况下，这两个正则性概念是否等价。
• 确定在非凸情形下，指数 1/2 的 KL 性质蕴含次微分度量退化性的充分条件。
• 识别在非凸函数中，次微分关于临界集的度量退化性蕴含指数 1/2 的 KL 性质的条件，特别是基于原问题下良好性与驻点值假设。

提出的方法

• 分析一个正规下确界下半连续函数的极限次微分及其相对于临界集的行为。
• 采用指数为 1/2 的 Kurdyka-Łojasiewicz（KL）不等式，以刻画临界点附近函数的局部几何结构。
• 将临界集上的二次增长条件作为关键假设，以在非凸情形下建立 KL 性质与度量退化性的联系。
• 应用原问题下良好函数的概念，以建立从度量退化性到 KL 性质的逆向蕴含关系。
• 利用变分分析工具，包括次微分微积分与度量正则性理论，推导主要结果。
• 通过次微分的结构性质以及函数在极小化点附近的行为，在凸情形下建立等价性。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于凸函数，关于临界集的极限次微分的度量退化性与指数 1/2 的 KL 性质是否等价？
• RQ2 在非凸情形下，指数 1/2 的 KL 性质结合临界集上的二次增长性是否蕴含次微分的度量退化性？
• RQ3 在何种条件下，关于临界集的次微分的度量退化性蕴含非凸函数的指数 1/2 的 KL 性质？
• RQ4 原问题下良好性如何影响度量退化性与指数 1/2 的 KL 性质之间的关系？
• RQ5 在非凸设定中，驻点值在建立从度量退化性到 KL 性质的蕴含关系中起什么作用？

主要发现

• 对于凸函数，关于临界集的极限次微分的度量退化性与指数 1/2 的 KL 性质等价。
• 在非凸情形下，指数 1/2 的 KL 性质结合临界集上的二次增长性，蕴含次微分关于临界集的度量退化性。
• 若函数具有原问题下良好性且驻点值满足某一假设，则次微分关于临界集的度量退化性蕴含指数 1/2 的 KL 性质。
• 研究结果在变分分析中两个关键正则性概念之间建立了双向联系，丰富了度量退化性与 KL 性质的理论。
• 研究结果将 KL 性质与度量退化性的适用范围扩展至更广泛的函数类，特别是通过引入二次增长与原问题下良好性作为辅助条件。
• 本研究为通过次微分正则性与 KL 型不等式的相互作用，统一理解非光滑优化中的收敛行为提供了框架。