[论文解读] Metric subregularity of the convex subdifferential in Banach spaces

Francisco J. Aragón Artacho, Michel Geoffroy|arXiv (Cornell University)|Mar 15, 2013

Optimization and Variational Analysis参考文献 21被引用 31

一句话总结

本文将凸次微分的度量次正则性与强次正则性的刻画从希尔伯特空间推广至巴拿赫空间，证明其与局部二次增长条件等价。进一步表明，在阿斯普伦德空间中，即使不假设凸性，至少一个蕴含关系对极限次微分依然成立，并推导出对近似点算法和参数广义方程解映射收敛性的含义。

ABSTRACT

In [2] we characterized in terms of a quadratic growth condition various metric regularity properties of the subdifferential of a lower semicontinuous convex function acting in a Hilbert space. Motivated by some recent results in [16] where the authors extend to Banach spaces the characterization of the strong regularity, we extend as well the characterizations for the metric subregularity and the strong subregularity given in [2] to Banach spaces. We also notice that at least one implication in these characterizations remains valid for the limiting subdifferential without assuming convexity of the function in Asplund spaces. Additionally, we show some direct implications of the characterizations for the convergence of the proximal point algorithm, and we provide some characterizations of the metric subregularity and calmness properties of solution maps to parametric generalized equations.

研究动机与目标

• 将凸次微分的度量次正则性与强次正则性的刻画从希尔伯特空间推广至一般的巴拿赫空间。
• 证明这些性质在巴拿赫空间中与函数的局部二次增长条件等价。
• 研究在阿斯普伦德空间中，不假设凸性时，极限次微分是否具有类似的刻画。
• 基于次正则性性质，推导近似点算法收敛行为的含义。
• 利用共轭增长条件刻画参数广义方程解映射的度量次正则性与鲁棒性。

提出的方法

• 利用法图共轭将次微分性质转化为共轭函数上的增长条件。
• 应用映射度量次正则性与逆映射度量正则性之间的等价关系，特别针对通过共轭对偶性的次微分及其逆。
• 采用二次增长条件：存在 $ c > 0 $，使得在 $ \bar{x} $ 附近有 $ f(x) \neq f(\bar{x}) + \langle y^*, x - \bar{x} \rangle + c\|x - \bar{x}\|^2 $，以刻画次正则性。
• 应用莫尔杜霍维奇与 nghia (2016) 在阿斯普伦德空间中关于极限次微分的结果，将结论推广至非凸函数。
• 利用偏导数 $ \nabla_x f(\bar{x}, \bar{y}) $ 的满射性及 $ f $ 的利普希茨连续性，分析参数广义方程。
• 推导共轭增长条件（如 $ f^*(y^*) \geq f^*(\bar{y}^*) + \langle \bar{x}, y^* - \bar{y}^* \rangle + c d^2(y^*, \partial f(\bar{x})) $）作为鲁棒性与次正则性的刻画。

实验结果

研究问题

• RQ1 度量次正则性与局部二次增长条件之间的等价性在巴拿赫空间中是否成立，而不仅限于希尔伯特空间？
• RQ2 在阿斯普伦德空间中，是否可将基于二次增长的强次正则性与度量次正则性刻画推广至非凸函数？
• RQ3 这些刻画对近似点算法的收敛速率有何影响？
• RQ4 参数广义方程解映射的鲁棒性与孤立鲁棒性性质如何与共轭增长条件相关联？
• RQ5 在何种条件下，参数广义方程的解映射能从其基础函数的增长行为继承度量次正则性或强次正则性？

主要发现

• 在 $ \bar{x} $ 处，凸次微分 $ \partial f $ 对 $ \bar{y}^* $ 的度量次正则性，等价于存在 $ \bar{y}^* $ 的一个邻域 $ V $ 及常数 $ c > 0 $，使得对所有 $ y^* \in V $，有 $ f^*(y^*) \geq f^*(\bar{y}^*) + \langle \bar{x}, y^* - \bar{y}^* \rangle + c d^2(y^*, \partial f(\bar{x})) $。
• 在 $ \bar{x} $ 处，$ \partial f $ 对 $ \bar{y}^* $ 的强次正则性，等价于存在 $ \bar{y}^* $ 的一个邻域 $ V $ 及常数 $ c > 0 $，使得对所有 $ y^* \in V $，有 $ f^*(y^*) \geq f^*(\bar{y}^*) + \langle \bar{x}, y^* - \bar{y}^* \rangle + c \|y^* - \bar{y}^*\|^2 $。
• 若 $ \partial f $ 在 $ \bar{x} $ 处对 $ \bar{y}^* $ 以常数 $ \kappa $ 满足鲁棒性，则对所有 $ c < 1/(4\kappa) $，共轭增长条件 (4.5) 成立；反之，若 (4.5) 以常数 $ c $ 成立，则 $ \partial f $ 以常数 $ 1/c $ 满足鲁棒性。
• 若 $ \partial f $ 在 $ \bar{x} $ 处对 $ \bar{y}^* $ 以常数 $ \kappa $ 满足孤立鲁棒性，则对所有 $ c < 1/(4\kappa) $，共轭增长条件 (4.6) 成立；反之，若 (4.6) 以常数 $ c $ 成立，则 $ \partial f $ 以常数 $ 1/c $ 满足孤立鲁棒性。
• 对于解映射 $ S(x) = \{ y \mid 0 \in f(x,y) + \partial \varphi(y) \} $，在 $ (\bar{x}, \bar{y}) $ 处的度量次正则性成立，当且仅当共轭增长条件 (4.5) 成立。
• 若二次增长条件 (3.1) 以常数 $ c > 0 $ 成立，且 $ f $ 关于 $ y $ 的部分利普希茨模小于 $ c $，则解映射 $ S $ 在 $ \bar{x} $ 处对 $ \bar{y} $ 满足孤立鲁棒性。