[论文解读] Metricizing the Euclidean Space towards Desired Distance Relations in Point Clouds

Stefan Raß, Sandra König+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 7, 2022

Topological and Geometric Data Analysis被引用 5

一句话总结

本文提出了一种在欧几里得空间 ℝˡ 上构建度量（或 ε-半度量）的方法，该方法可强制实现一组固定点之间任意指定的成对距离，而与其原始的欧几里得位置无关。主要贡献在于证明：对于任意 m 个点及期望的距离 δᵢⱼ，均存在一个 ε-半度量，其三角不等式违反程度最多为 ε，从而可操控 k-Means 和 DBSCAN 等聚类算法。

ABSTRACT

Given a set of points in the Euclidean space $\mathbb{R}^\ell$ with $\ell>1$, the pairwise distances between the points are determined by their spatial location and the metric $d$ that we endow $\mathbb{R}^\ell$ with. Hence, the distance $d(\mathbf x,\mathbf y)=δ$ between two points is fixed by the choice of $\mathbf x$ and $\mathbf y$ and $d$. We study the related problem of fixing the value $δ$, and the points $\mathbf x,\mathbf y$, and ask if there is a topological metric $d$ that computes the desired distance $δ$. We demonstrate this problem to be solvable by constructing a metric to simultaneously give desired pairwise distances between up to $O(\sqrt\ell)$ many points in $\mathbb{R}^\ell$. We then introduce the notion of an $\varepsilon$-semimetric $ ilde{d}$ to formulate our main result: for all $\varepsilon>0$, for all $m\geq 1$, for any choice of $m$ points $\mathbf y_1,\ldots,\mathbf y_m\in\mathbb{R}^\ell$, and all chosen sets of values $\{δ_{ij}\geq 0: 1\leq i

研究动机与目标

• 研究是否可构造一种度量，使在 ℝˡ 中固定点集的任意指定距离可被赋予，而与其原始欧几里得位置无关。
• 通过引入允许三角不等式以加法误差 ε 放松的 ε-半度量，解决标准度量在实现任意距离控制方面的局限性。
• 证明此类度量可用于操控无监督聚类算法（如 k-Means 和 DBSCAN），使其产生预设的、可能具有恶意的结果。
• 倡导在算法设计中提高透明度，特别是距离度量的选择，以防止事后操纵。

提出的方法

• 作者定义了一个 ε-半度量 d̃: ℝˡ × ℝˡ → ℝ，其满足所有度量公理，但三角不等式最多可被违反 ε。
• 他们基于加权范数 ∥·∥_Q 构建距离函数，其中矩阵 Q 的设计用于在指定点 yᵢ, yⱼ 之间强制实现期望的距离 δᵢⱼ。
• 该构造确保对称性和正定性，同时允许对三角不等式的受控违反，以实现任意距离分配。
• 通过将构造出的 d̃ 作为距离函数代入真实聚类算法，应用该方法，展示了结果可被预先确定。
• 通过 k-Means 和 DBSCAN 的实验验证，表明聚类结果可在不改变数据或算法逻辑的前提下被操控。
• 作者强调，ε 可设置得低于机器精度，使 ε-半度量在实际中与真实度量无法区分。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构造一种拓扑度量，使在 ℝˡ 中固定点集的任意指定距离可被赋予，而与其原始欧几里得配置无关？
• RQ2 在 ℝˡ 中，此类度量最多可强制实现多少个点的任意成对距离？
• RQ3 在保持度量在聚类实际应用中基本性质的前提下，三角不等式最多可放松到何种程度？
• RQ4 此类放松的度量是否可用于操控标准无监督聚类算法（如 k-Means 和 DBSCAN），使其产生预设的、非鲁棒的结果？
• RQ5 如何通过提高聚类算法的透明度与可信度，防止此类事后度量操纵？

主要发现

• 对于 ℝˡ 中任意有限个 m 个点及任意非负成对距离 δᵢⱼ，均存在一个 ε-半度量，使得对所有 i < j 满足 d̃(yᵢ, yⱼ) = δᵢⱼ。
• 该构造即使在原始欧几里得距离与期望的 δᵢⱼ 无关或不一致时，仍可实现任意距离分配。
• 三角不等式最多被违反 ε，且 ε 可设置得低于机器精度，使该度量在计算上与真实度量无法区分。
• 实验表明，通过将构造出的 ε-半度量作为距离函数，可操控 k-Means 和 DBSCAN 产生任意聚类结果。
• 结果表明存在一个根本性漏洞：即使数据和算法保持不变，仅通过更改距离度量即可事后操纵聚类结果。
• 本研究强调了机器学习中 Kerckhoffs 原则的必要性：所有设计选择（尤其是距离度量）必须事先公开承诺，以防止恶意操纵。