[论文解读] Metrics for more than two points at once

David H. Wolpert|ArXiv.org|Apr 16, 2004

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 9被引用 7

一句话总结

本文提出了一种广义度量——称为多重度量（multimetric）——它将传统的三角不等式推广至度量任意数量点之间的分离程度，而不仅限于成对点。该方法可量化概率分布的离散程度，并支持通过自助法（bootstrapping）比较点集或分布集合，为成对距离的任意聚合提供了一种有理论依据的替代方案。

ABSTRACT

The conventional definition of a topological metric over a space specifies properties that must be obeyed by any measure of "how separated" two points in that space are. Here it is shown how to extend that definition, and in particular the triangle inequality, to concern arbitrary numbers of points. Such a measure of how separated the points within a collection are can be bootstrapped, to measure "how separated" from each other are two (or more) collections. The measure presented here also allows fractional membership of an element in a collection. This means it directly concerns measures of ``how spread out" a probability distribution over a space is. When such a measure is bootstrapped to compare two collections, it allows us to measure how separated two probability distributions are, or more generally, how separated a distribution of distributions is.

研究动机与目标

• 将适用于多于两个点的拓扑度量进行形式化，克服组合成对距离时的任意性。
• 将三角不等式推广至多重集和分数隶属关系（例如概率分布），以实现对离散程度的统一度量。
• 提供一种框架，用于使用自举多重度量测量两个或多个点集或分布之间的分离程度。
• 证明标准统计量如标准差是多重度量，而方差不是，从而将该理论与既有的统计概念联系起来。

提出的方法

• 将多重度量定义为定义在 R^X（集合 X 上的非负函数空间）上的实值函数 ρ，满足三个公理：非负性、仅当集中于单一点时为零，以及对三个向量的广义三角不等式。
• 将三角不等式推广至 ρ(u + v) ≤ ρ(u + w) + ρ(v + w)，其中 u, v, w 属于 T(X) ⊆ R^X 的子集，允许处理多重集和分数隶属关系。
• 利用向量空间结构与内积（例如 ⟨u|v⟩）来定义并验证多重度量，特别是针对基于方差、最大值或支撑宽度的度量。
• 通过自举法定义集合之间的多重度量：ρ(ξ₁ ∪ ξ₂) − ρ(ξ₁) − ρ(ξ₂)，从而实现对两组之间分离程度的比较。
• 利用柯西-施瓦茨不等式与凹性等性质，证明特定函数（如标准差、支撑宽度）满足多重度量公理。
• 通过代数验证公理，证明 R^N 上分布的标准差是有效的多重度量，而方差不是。

实验结果

研究问题

• RQ1 三角不等式如何推广以适用于多于两个点的集合，包括多重集和分数隶属关系？
• RQ2 一个函数需满足何种条件才能成为多重度量？其与传统度量和范数性质的关系为何？
• RQ3 标准统计量如方差与标准差能否被重新解释为多重度量？若能，其条件为何？
• RQ4 如何通过自举法构造多重度量以度量两组点或分布之间的分离程度？
• RQ5 该框架对量化概率分布的离散程度以及比较分布的分布有何影响？

主要发现

• R^N 上概率分布的标准差是有效的多重度量，因其满足所有三个公理，包括广义三角不等式。
• 方差不是多重度量，因其不满足广义三角不等式，该结论通过反例与代数分析得到验证。
• 分布的支撑宽度（直径）——定义为支撑集中最大值与最小值之差——满足多重度量公理。
• 函数在其支撑集上的最大值是多重度量，其在某一方向上的支撑宽度亦为多重度量，该结论通过分类讨论与优化方法得以证明。
• 可通过张量收缩从任意非负、凹且齐次的函数构造多重度量，且此类构造满足广义三角不等式。
• 两组集合 ξ₁ 与 ξ₂ 的自举多重度量定义为 ρ(ξ₁ ∪ ξ₂) − ρ(ξ₁) − ρ(ξ₂)，用于量化其相对分离程度，并可推广至分布的分布。