[论文解读] Metrics of positive Ricci curvature on quotient spaces

Lorenz Schwachhoefer, Wilderich Tuschmann|ArXiv.org|Mar 7, 2003

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 27被引用 4

一句话总结

本文通过在紧致齐性空间和共形维数一流形上施加自由等距群作用并取商，建立了新的闭流形类，其上存在具有正 Ricci 曲率和几乎非负截面曲率的不变黎曼度量。关键结果是：此类商流形具有这些曲率性质当且仅当其基本群是有限的，从而给出了具有强曲率与拓扑约束的新流形例子。

ABSTRACT

We show that any closed biquotient with finite fundamental group admits metrics of positive Ricci curvature. Also, let M be a closed manifold on which a compact Lie group G acts with cohomogeneity one, and let L be a closed subgroup of G which acts freely on M. We show that the quotient N := M/L carries metrics of nonnegative Ricci and almost nonnegative sectional curvature. Moreover, if N has finite fundamental group, then N admits also metrics of positive Ricci curvature. Particular examples include infinite families of simply connected manifolds with the rational cohomology rings and integral homology of complex and quaternionic projective spaces.

研究动机与目标

• 识别具有正 Ricci 曲率黎曼度量的新闭流形类。
• 研究在具有正或非负 Ricci 曲率的流形上，通过自由等距群作用所得商空间的曲率行为。
• 确定拓扑与几何条件（特别是基本群的有限性）下，此类商流形如何继承正 Ricci 曲率。
• 将已知的正 Ricci 曲率与几乎非负截面曲率度量结果推广至新一族流形，包括双商流形和 Brieskorn 流形的商流形。
• 通过 Brieskorn 流形的自由圆周与三维球面作用构造出基本群为平凡的流形显式例子，其有理上同调环同构于复与四元数射影空间。

提出的方法

• 分析紧致齐性空间或共形维数一流形 M 上自由等距作用 L 的商流形 M/L 的 Ricci 曲率。
• 应用 Gysin 序列计算商空间的整上同调环，特别是 Brieskorn 流形关于 S1 和 Sp(1) 作用的商。
• 通过群作用的法丛构造不变度量，以保证不变性并控制曲率性质。
• 利用共形维数一流形与双商流形的已知结果，建立正 Ricci 曲率与几乎非负截面曲率度量的存在性。
• 通过 Brieskorn 流形关于自由圆周与三维球面作用构造显式流形族，其上同调环同构于 CP^{2m-1} 与 HP^{2m-1}。
• 验证 S1×SU(m) 与 S1×Sp(m) 在商流形上的共形维数二作用，并确认在这些作用下度量的等距不变性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在紧致齐性空间或共形维数一流形上，自由等距作用的商流形在何种条件下具有正 Ricci 曲率度量？
• RQ2 正 Ricci 曲率与几乎非负截面曲率度量能否共存于商流形上？存在何种拓扑障碍？
• RQ3 具有有限基本群的紧致李群双商流形是否具有正 Ricci 曲率与几乎非负截面曲率度量？
• RQ4 Brieskorn 流形关于自由 S1 与 Sp(1) 作用的商流形的上同调结构如何？其与 CP^{2m-1} 和 HP^{2m-1} 等已知空间有何关联？
• RQ5 是否存在新的单连通流形例子，其有理上同调环同构于 CP^n 与 HP^n，且同时具有正 Ricci 曲率与几乎非负截面曲率？

主要发现

• 在紧致齐性空间或共形维数一流形上，自由等距作用的商流形具有正 Ricci 曲率度量当且仅当其基本群是有限的。
• 所有紧致李群 G 的双商流形 G//H，只要其基本群有限，就存在不变的正 Ricci 曲率与几乎非负截面曲率度量。
• Brieskorn 流形关于自由 S1 与 Sp(1) 作用的商流形产生单连通流形，其有理上同调环分别同构于 CP^{2m-1} 与 HP^{2m-1}，且具有正 Ricci 曲率与几乎非负截面曲率度量。
• 当 d ≥ 3 时，流形 N^{4m-2}_d 与 ˜N^{8m-4}_d 不微分同胚于任何双商流形，且不具有共形维数小于二的李群作用。
• 商流形 N^{4m-2}_d 与 ˜N^{8m-4}_d 具有纤维丛 S^2 → N^{8m-2}_d → ˜N^{8m-4}_d，且在所构造的度量下为黎曼纤维丛。
• 当 m=1 时，商流形 ˜N^4_d 微分同胚于 S^4，且其对应的 S^3-丛由欧拉类 d 分类，所有非平凡情形均可实现为 Brieskorn 流形的商。