[论文解读] Metrics on Spaces of Surfaces where Horizontality equals Normality

Martin Bauer, Philipp Harms|arXiv (Cornell University)|Mar 6, 2014

Morphological variations and asymmetry参考文献 28被引用 4

一句话总结

本文表征了在浸入空间上具有重参数化不变性的Sobolev型度量，其中（相对于形状空间投影的）水平丛与（相对于环境度量的）法丛重合。通过识别使水平分解与法分解一致的度量，该研究简化了形状空间上的测地线计算，并在平面曲线的情况下表明，更高的度量正则性控制了度量完备化中曲线的光滑性。

ABSTRACT

In this article, we study metrics on shape space of surfaces that have a particularly simple horizontal bundle. More specifically, we consider reparametrization invariant Sobolev type metrics $G$ on the space $\operatorname{Imm}(M,N)$ of immersions of a compact manifold $M$ in a Riemannian manifold $(N,\overline{g})$. The tangent space $T_f\operatorname{Imm}(M,N)$ at each immersion $f$ has two natural splittings: one into components that are tangential/normal to the surface $f$ (with respect to $\overline{g}$) and another one into vertical/horizontal components (with respect to the projection onto the shape space $B_i(M,N)=\operatorname{Imm}(M,N)/\operatorname{Diff}(M)$ of unparametrized immersions and with respect to the metric $G$). The first splitting can be easily calculated numerically, while the second splitting is important because it mirrors the geometry of shape space and geodesics thereon. Motivated by facilitating the numerical calculation of geodesics on shape space, we characterise all metrics $G$ such that the two splittings coincide. In the special case of planar curves, we show that the regularity of curves in the metric completion can be controlled by choosing a strong enough metric within this class.

研究动机与目标

• 识别浸入空间上具有重参数化不变性的Sobolev型度量 $G$，使得相对于形状空间商的水平分解与浸入曲面在环境流形中的法分解一致。
• 通过利用水平分解与法分解的一致性，简化形状空间上测地线的数值计算。
• 分析在平面曲线下，此类度量下形状空间度量完备化中曲线的正则性。
• 提供一个几何框架，使内在形状空间几何与环境Riemann流形结构相一致。

提出的方法

• 研究以紧致流形 $M$ 到Riemann流形 $(N,\overline{g})$ 的浸入空间 $\operatorname{Imm}(M,N)$ 作为基础配置空间。
• 考虑定义在 $\operatorname{Imm}(M,N)$ 上的重参数化不变Sobolev型度量 $G$，通过沿浸入的向量场上的内积来定义。
• 在每个浸入 $f$ 处，将切空间同时分解为沿 $f$ 的像的切向/法向，以及相对于形状空间商 $\operatorname{Imm}(M,N)/\operatorname{Diff}(M)$ 的竖直/水平方向。
• 关键条件是：由 $G$ 诱导的水平分布与 $f$ 在 $N$ 中的法丛重合，从而简化了几何结构。
• 对于平面曲线，论文分析了度量完备化，并表明提高度量 $G$ 的Sobolev正则性可控制完备化中曲线的正则性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在浸入空间上，哪些重参数化不变Sobolev型度量会诱导出与环境流形中浸入曲面法丛重合的水平丛？
• RQ2 水平分解与法分解的一致性如何简化形状空间上测地线的计算？
• RQ3 度量 $G$ 的正则性与平面浸入形状空间度量完备化中曲线正则性之间的关系是什么？
• RQ4 是否可以通过选择使水平方向与法方向对齐的度量，来简化形状空间的几何结构？

主要发现

• 本文完全表征了所有重参数化不变Sobolev型度量 $G$，使得相对于形状空间商的水平丛与浸入在环境流形中的法丛重合。
• 对于此类度量，每个浸入处的切空间的水平分解与法分解完全相同，显著简化了几何与计算结构。
• 在平面曲线情况下，形状空间的度量完备化仅包含由Sobolev度衡量级决定正则性的曲线；高阶度量产生更光滑的曲线。
• 水平分量与法分量的一致性使得形状空间上测地线的数值计算更加高效，因为水平投影简化为法投影。