[论文解读] Metrics with cone singularities along normal crossing divisors and holomorphic tensor fields

F. Campana, Henri Guenancia+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 26, 2011

Geometry and complex manifolds被引用 90

一句话总结

本文在紧致凯勒流形上，于一个简单法向相交除子上，于锥角满足技术性条件时，建立了具锥奇点的凯勒-爱因斯坦度量的存在性。通过蒙日-安培方程与曲率估计，将经典李希纳罗维奇与小林关于全纯张量场的结果推广至奇异情形，依据伴随丛 $K_X + D$ 的符号，证明了其消失或平行性。关键贡献在于此类度量的构造及其在对数光滑klt对上的张量场理论中的应用。

ABSTRACT

We prove the existence of non-positively curved K\\"ahler-Einstein metrics with cone singularities along a given simple normal crossing divisor on a compact K\\"ahler manifold, under a technical condition on the cone angles, and we also discuss the case of positively-curved K\\"ahler-Einstein metrics with cone singularities. As an application we extend to this setting classical results of Lichnerowicz and Kobayashi on the parallelism and vanishing of appropriate holomorphic tensor fields.

研究动机与目标

• 在紧致凯勒流形上，沿一个简单法向相交除子构造具锥奇点的凯勒-爱因斯坦度量。
• 确立此类度量存在的条件，特别是当伴随丛 $K_X + D$ 为正或负时。
• 将经典关于全息张量场（特别是其消失与平行性）的结果，从光滑流形推广至对数光滑klt对的奇异情形。
• 分析度量在除子附近的渐近行为，并在奇异背景下证明曲率估计。
• 通过锥度量下的有界性，将全息张量场理论推广至几何轨道丛。

提出的方法

• 求解形式为 $(\omega + dd^c\varphi)^n = e^{f + \lambda\varphi} \mu_D$ 的复蒙日-安培方程，其中 $\lambda = 0$ 或 $1$，$\mu_D$ 为在除子 $D$ 上具有指定奇点的体积形式。
• 利用 $\mu_D$ 的 $L^p$-可积性理论，并应用科洛杰伊定理，当 $\lambda = 0$ 时获得连续解 $\varphi$，从而确保度量 $\omega_\infty = \omega + dd^c\varphi$ 的存在性。
• 建立 $\mathscr{C}^{0}$、拉普拉斯算子及 $\mathscr{C}^{2,\alpha}$ 估计，以证明解 $\varphi$ 在除子外的正则性。
• 采用截断过程与适配于奇异度量的博赫纳公式技术，分析全息张量场。
• 使用适配于法向相交除子的坐标系，计算曲率分量并估计度量的拉普拉斯算子。
• 应用最大值原理与曲率比较技术，在奇异背景下有下界地控制里奇曲率。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，具有简单法向相交除子的紧致凯勒流形会允许沿该除子存在具锥奇点的凯勒-爱因斯坦度量？
• RQ2 在具有锥度量的对数光滑klt对 $(X,D)$ 上，全息张量场（如其消失或平行性）的性质如何表现？
• RQ3 锥角 $2\pi\tau_j$ 在决定此类度量的存在性与曲率性质方面起着何种精确作用？
• RQ4 经典李希纳罗维奇与小林关于全息张量场的定理能否推广至具锥奇点的奇异度量情形？
• RQ5 具有沿法向相交除子奇点的体积形式的蒙日-安培方程的解，其正则性与渐近行为如何？

主要发现

• 在锥角满足技术性条件时，特别是当 $K_X + D$ 为充分正或反充分正时，沿简单法向相交除子的凯勒-爱因斯坦度量存在性得以确立。
• 当 $\lambda = 0$ 时，由于科洛杰伊的 $L^p$-可积性结果，蒙日-安培方程存在唯一连续解 $\varphi_\infty$，从而在 $X_0 = X \setminus \mathrm{Supp}(D)$ 上定义了良态度量 $\omega_\infty$。
• 解 $\varphi_\infty$ 在 $X_0$ 上光滑，且度量 $\omega_\infty$ 在正则部分上为凯勒-爱因斯坦度量，具有指定的里奇曲率。
• 通过适配于奇异度量的博赫纳公式与截断技术，可证明全息张量场依 $K_X + D$ 的符号而消失或平行，从而推广经典结果。
• 度量 $\omega_\infty$ 的曲率在当前意义下被下界控制，且在除子附近的奇异坐标系中建立了拉普拉斯算子估计。
• 该理论可推广至几何轨道丛，其中全息张量场被定义为相对于锥度量有界的张量场，其行为由伴随丛 $K_X + D$ 控制。