[论文解读] Metrisability of Manifolds

David Gauld|ArXiv.org|Oct 5, 2009

Advanced Topology and Set Theory参考文献 51被引用 12

一句话总结

本文通过识别一系列与度量性等价的拓扑条件，对可度量化的流形进行了全面刻画，包括完全度量性、贝尔性质以及各种覆盖和分离公理。在标准集合论假设下，本文证明了度量性等价于一系列看似更弱的拓扑性质，同时表明某些等价关系依赖于马丁公理或连续统假设等公理。

ABSTRACT

Manifolds have uses throughout and beyond Mathematics and it is not surprising that topologists have expended a huge effort in trying to understand them. In this article we are particularly interested in the question: `when is a manifold metrisable?' We describe many conditions equivalent to metrisability.

研究动机与目标

• 识别并系统化流形度量性的等价条件。
• 阐明集合论公理（如马丁公理和连续统假设）在决定度量性中的作用。
• 解决关于完美正规性或强遗传可分性等性质是否蕴含度量性的长期悬而未决问题。
• 证明仅可分性和正规性不足以保证度量性，并提供反例。
• 建立在流形设定下，度量性与一系列拓扑性质（包括伪完备性和α优性）的等价性。

提出的方法

• 以与欧氏空间局部同胚作为流形的基础定义。
• 应用一般拓扑学中的结果，包括贝尔空间的性质、契赫完备性以及可数阶基的性质。
• 使用集合论工具（如马丁公理（MA）和连续统假设（CH））分析等价关系的独立性。
• 构造反例（例如长射线，以及用区间替换y轴的二维流形）以表明正规性、可分性或完美正规性并不蕴含度量性。
• 利用一般拓扑学中已知的等价关系（例如在局部凸空间中贝尔空间与沃尔泰拉空间之间的等价性）推导出对流形的推论。
• 分析完全度量性 ⇒ 伪完备性 ⇒ α优性等性质之间的蕴含关系，并将其与度量性联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些拓扑性质与流形的度量性等价？
• RQ2 马丁公理或连续统假设等集合论公理在度量性与完美正规性或强遗传可分性等性质之间的等价关系中起多大作用？
• RQ3 仅可分性或正规性能否保证流形的度量性？
• RQ4 是否存在正规且可分但不可度量化的流形？
• RQ5 在何种条件下，完美正规性与流形的度量性等价？

主要发现

• 流形的度量性与一系列性质等价，包括完全度量性、伪完备性、α优性以及贝尔性质。
• 存在不可度量化的可分二维流形，表明可分性不足以保证度量性。
• 长射线是一个正规、可分且α优的流形，但不可度量化，表明正规性与可分性不能蕴含度量性。
• 在马丁公理加非连续统假设（¬CH）下，完美正规性蕴含流形的度量性；但在连续统假设（CH）下，存在完美正规但不可度量化的流形。
• 即使强遗传可分性与完美正规性同时成立，也一般不能推出度量性，这由一个基于CH的构造所证明。
• 度量性与性质（a）或可数阶基等性质之间的等价性对所有流形均成立，且不依赖于集合论假设。