[论文解读] Metrizability of spaces of valuation domains associated to pseudo-convergent sequences

Giulio Peruginelli, Dario Spirito|arXiv (Cornell University)|Nov 27, 2020

Rings, Modules, and Algebras参考文献 16被引用 1

一句话总结

本文研究了由伪收敛序列在有理函数域上诱导的赋值域空间的度量性，重点关注泽里斯基拓扑与可构造拓扑。研究结果表明，具有固定伪极限的扩展空间是度量空间当且仅当基赋值域的值群是可数的；当剩余域或值群不可数时，整个泽里斯基空间不是度量空间。

ABSTRACT

Let $V$ be a valuation domain of rank one with quotient field $K$. We study the set of extensions of $V$ to the field of rational functions $K(X)$ induced by pseudo-convergent sequences of $K$ from a topological point of view, endowing this set either with the Zariski or with the constructible topology. In particular, we consider the two subspaces induced by sequences with a prescribed breadth or with a prescribed pseudo-limit. We give some necessary conditions for the Zariski space to be metrizable (under the constructible topology) in terms of the value group and the residue field of $V$.

研究动机与目标

• 确定在可构造拓扑下，赋值域V到K(X)的赋值域扩展空间在何种条件下是度量空间。
• 分析由固定伪极限或固定伪收敛序列广度定义的子空间的拓扑结构。
• 阐明这些子空间上泽里斯基拓扑与可构造拓扑之间的关系。
• 在伪收敛序列的背景下，扩展已知的关于度量性与赋值空间拓扑的结果。
• 研究伪发散与伪常值序列在度量性与分离公理方面的拓扑行为。

提出的方法

• 本文研究由固定广度δ的伪收敛序列诱导的子空间V(•, δ)，使用一种自然的非阿基米德距离，该距离同时诱导泽里斯基拓扑与可构造拓扑。
• 分析具有固定伪极限β的子空间V(β, •)，采用上极限拓扑的变体，并证明其与(−∞, +∞]QΓv同胚。
• 对于伪发散序列，本文使用到Zar(k(t)|k)的商映射，证明当剩余域k不可数时，其非度量性。
• 证明当δ属于值群且剩余域无限时，Vdiv(•, δ)在泽里斯基拓扑下不是豪斯多夫空间。
• 建立Vdiv(β, •)与V(β, •)之间的同胚关系，表明伪发散情形在拓扑上等价于伪收敛情形。
• 对于伪常值序列，证明Vstat(•, δ)与Vstat(β, •)在泽里斯基与可构造拓扑下均为离散空间。

实验结果

研究问题

• RQ1 在可构造拓扑下，由伪收敛序列诱导的V到K(X)的赋值域扩展空间在何种条件下是度量空间？
• RQ2 V(β, •)的度量性如何依赖于V的值群的基数？
• RQ3 当V的剩余域不可数时，整个泽里斯基空间Zar(K(X)|V)cons是否是度量空间？
• RQ4 在泽里斯基与可构造拓扑下，空间Vdiv(•, δ)与Vdiv(β, •)具有何种拓扑性质？
• RQ5 伪常值序列扩展的空间在泽里斯基与可构造拓扑下是否为离散空间？

主要发现

• 由固定广度δ的伪收敛序列诱导的扩展空间V(•, δ)在自然距离函数下是完备的非阿基米德度量空间，且其上泽里斯基拓扑与可构造拓扑重合。
• 具有固定伪极限β的扩展空间V(β, •)是度量空间当且仅当V的值群是可数的。
• 当V的剩余域不可数时，整个泽里斯基空间Zar(K(X)|V)cons不是度量空间。
• 当δ属于值群且剩余域无限时，Vdiv(•, δ)在泽里斯基拓扑下不是豪斯多夫空间。
• 空间Vdiv(β, •)与V(β, •)同胚，因此其度量性当且仅当值群是可数的。
• 伪常值序列扩展的空间Vstat(•, δ)与Vstat(β, •)在泽里斯基与可构造拓扑下均为离散空间。