[论文解读] Metrizability of Topological Vector Space Valued Cone Metric Spaces

Hüseyi̇n Çakallı, Ayşe Sönmez+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 19, 2010

Fixed Point Theorems Analysis参考文献 7被引用 4

一句话总结

本文证明了拓扑线性空间（TVS）值锥度量空间是度量化的，通过证明由TVS值锥度量诱导的拓扑与通过非线性标量化函数导出的度量所诱导的拓扑等价。其关键贡献在于建立了锥度量空间的拓扑结构与标准度量空间结构之间的等价性，从而使得经典度量空间工具可应用于向量值设定。

ABSTRACT

Scalarization method is an important tool in the study of vector optimization as corresponding solutions of vector optimization problems can be found by solving scalar optimization problems. This is applied by Du (2010) [A note on cone metric fixed point theory and its equivalence, Nonlinear Analysis 72 2259-2261] to investigate the equivalence of vectorial versions of fixed point theorems of contractive mappings in generalized cone metric spaces and scalar versions of fixed point theorems in general metric spaces in usual sense. In this paper we find out that the topology induced by topological vector space valued cone metric coincides with the topology induced by the metric obtained via a nonlinear scalarization function, i.e any topological vector space valued cone metric space is metrizable.

研究动机与目标

• 研究拓扑线性空间（TVS）值锥度量空间的拓扑结构。
• 确定此类空间是否度量化，即其拓扑是否可由标准度量诱导。
• 建立TVS值锥度量的拓扑与通过非线性标量化导出的度量的拓扑之间的等价性。
• 通过确保度量化，将不动点理论和优化技术的应用范围扩展至锥度量空间。

提出的方法

• 利用非线性标量化函数将TVS值锥度量转换为实值度量。
• 分析原始TVS值锥度量所诱导的拓扑。
• 将此拓扑与标量化度量所诱导的拓扑进行比较。
• 证明两种拓扑一致，从而确立度量化性质。
• 将标量化度量中已知的标量度量空间结果应用于推断拓扑性质。
• 依赖于Du（2010）建立的锥度量空间中向量值与标量不动点定理之间的等价性。

实验结果

研究问题

• RQ1 TVS值锥度量空间的拓扑能否由标准度量表示？
• RQ2 是否存在一种标量化方法可保持TVS值锥度量空间的拓扑结构？
• RQ3 非线性标量化函数是否诱导出与原始锥度量生成相同拓扑的度量？
• RQ4 经典度量空间结果在TVS值锥度量空间中可应用到何种程度？
• RQ5 锥度量空间的拓扑性质与标准度量空间的拓扑性质之间是否存在等价性？

主要发现

• 由TVS值锥度量诱导的拓扑与通过非线性标量化函数导出的度量所诱导的拓扑完全相同。
• 这意味着每个TVS值锥度量空间都是度量化的。
• 该度量化性质使得经典不动点定理和度量空间技术可应用于向量值设定。
• 拓扑等价性确保了收敛性、完备性及其他拓扑性质在标量化过程中得以保持。
• 该结果通过验证方法的拓扑一致性，支持了在向量优化和不动点理论中使用标量化。