[论文解读] Mickelsson algebras and representations of Yangians

S. Khoroshkin, Maxim Nazarov|arXiv (Cornell University)|Dec 6, 2009

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 11被引用 4

一句话总结

该论文通过ℂⁿ的对称幂与外幂的张量积商构造了扭曲杨代数Y(spₙ)和Y(soₙ)的不可约有限维表示。它利用Mickelsson代数与极小投影算子，提供了这些模的新实现方式，建立了不可约模与首一多项式序列之间的对应关系，其分裂行为由权的奇异点及通过Zhelobenko自同构实现的Weyl群作用决定。

ABSTRACT

We use the theory of reductive dual pairs due to Howe to obtain explicit realizations of irreducible representations of the Yangian of the general linear Lie algebra, and of the twisted Yangians corresponding to the symplectic and orthogonal Lie algebras.

研究动机与目标

• 通过ℂⁿ的对称幂与外幂的张量积商，提供Y(spₙ)和Y(soₙ)不可约有限维模的新实现方式。
• 利用Mickelsson代数技术与极小投影算子，将Y(glₙ)的已知实现推广至扭曲杨代数。
• 在soₙ作用积分到SOₙ的条件下，通过多项式不变量与Weyl群作用表征Y(soₙ)的不可约模。
• 建立不可约模与首一多项式序列之间的对应关系，其分裂行为由权的奇异点决定。
• 阐明Zhelobenko自同构与动力Weyl群在扭曲杨代数表示理论中的作用。

提出的方法

• 通过约化子代数g在包含U(g)的结合代数A中的伴随作用，构造Mickelsson代数R为右理想J = nA的正规化子的商。
• 引入A的分式环A̅，并定义R̅为nA̅的正规化子的商，其可通过商空间Z̅ = A̅/(J̅ + J̅′)（其中J̅′为对偶幂零理想）进行双射描述。
• 利用g的极小投影算子，以向量空间Z̅描述R̅中的乘法，从而实现模的显式构造。
• 通过Z̅上的 braid 群作用诱导的Zhelobenko自同构，定义Z̅中零权子代数上的Weyl群作用。
• 利用A上的G-作用（扩展了G在U(g)上的伴随作用）定义G-不变元素，并将其投影到Z̅上以构造模。
• 通过杨代数的作用构造模之间的交织算子，其核商给出不可约表示，并通过标记δ = ±1确定分裂行为。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将扭曲杨代数Y(spₙ)和Y(soₙ)的不可约有限维模实现为ℂⁿ的对称幂与外幂张量积的商？
• RQ2 Mickelsson代数与极小投影算子在构造与分类扭曲杨代数表示中起什么作用？
• RQ3 Zhelobenko自同构与Z̅的零权子代数上的Weyl群作用如何关联到Y(soₙ)的表示理论？
• RQ4 在何种条件下，Y(soₙ)-模之间的交织算子会分裂为两个非等价的不可约分量？
• RQ5 哪些多项式不变量分类了不可约有限维Y(soₙ)-模，它们与权λ和μ有何关系？

主要发现

• Y(spₙ)的所有不可约有限维模均可实现为ℂⁿ的对称幂与外幂张量积的商。
• 对于Y(soₙ)，所有其soₙ作用积分到SOₙ的不可约有限维模均来自此类张量积的商，条件为λ + ρ非奇异。
• 交织算子(4.58)在核商不可约时给出不可约Y(soₙ)-模；若δ = ±1，则分裂为两个非等价不可约模。
• 与模相关的多项式Qₗ(x)为所有满足νₐ = l的指标a的(x² − (μₐ + ρₐ)²)的乘积，分裂当且仅当存在满足νₐ = l的a使得μₐ + ρₐ = 0。
• 权λ与μ在so₂ₘ的群R的平移Weyl群作用下确定，可自由置换对(λₐ + ρₐ, μₐ + ρₐ)并应用符号翻转。
• 当ν₁ = … = νₘ = 0时，(4.58)中源模与目标模均为平凡模，若λ + ρ非奇异，则算子成为ℂ → ℂ的恒等映射。