[论文解读] Micro-Macro Modelling of an Array of Spheres Interacting Through Lubrication Forces

Aline Lefebvre-Lepot, Bertrand Maury+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 19, 2008

Adhesion, Friction, and Surface Interactions被引用 10

一句话总结

该论文为通过润滑力相互作用的刚性球体密集悬浮液提出了一个宏观本构模型，推导出一种类似牛顿粘弹性方程，其中拉伸粘度与局部流体分数成反比。主要贡献在于即使在粒子接触和团簇中局部粘度趋于无穷时，也严格证明了离散解向连续PDE的弱收敛性。

ABSTRACT

We consider here a discrete system of spheres interacting through a lubrication force. This force is dissipative, and singular near contact: it behaves like the reciprocal of interparticle distance. We propose a macroscopic constitutive equation which is built as the natural continuous counterpart of this microscopic lubrication model. This model, which is of the newtonian type, relies on an elongational viscosity, which is proportional to the reciprocal of the local fluid fraction. We then establish the convergence in a weak sense of solutions to the discrete problem towards the solution to the partial differential equation which we identified as the macroscopic constitutive equation.

研究动机与目标

• 推导一个连续的宏观模型，以捕捉通过润滑力相互作用的离散刚性球体系统的有效流变行为。
• 解决在接近接触时润滑力奇异的问题，此时当粒子间距趋近于零时粘度发散。
• 在有效粘度在团簇中趋于无穷的情况下，建立离散解向连续偏微分方程解的弱拓扑收敛性。
• 通过允许扩散系数无界（即在完全填充区域粘度无穷大），推广现有均质化框架，这违反了经典均质化理论中的标准假设。
• 将模型扩展至时变粒子构型，将速度场与固体分数的输运方程耦合。

提出的方法

• 为简化起见，使用与粒子间距倒数成正比的润滑力（比例系数 κ = 1）来建模相邻球体之间的相互作用。
• 在直线上定义由 N+1 个球体组成的离散系统，其位置为 qᵢ(t)，速度为 uᵢ(t)，固体分数为 ρᵢ(t)，其中 ρᵢ = 1 表示接触。
• 利用相对速度和粒子间距，通过弱意义定义离散梯度，构造分段常数速度场 u^ε 及其弱导数。
• 推导出形式为 −∂ₓ[(1−ρ)⁻¹ ∂ₓu] = ρf 的宏观PDE，其中 f 为外力，表示力平衡的连续极限。
• 引入输运方程 ∂ₜρ + ∂ₓ(ρu) = 0，以描述粒子运动下固体分数的演化。
• 通过速度梯度和时间导数的统一有界性假设，证明离散速度场和密度场向连续PDE解的弱收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何从通过奇异润滑力相互作用的离散球体系统推导出连续宏观模型？
• RQ2 当粒子间距趋近于零且润滑力占主导时，能够捕捉宏观流变行为的有效本构关系是什么？
• RQ3 当局部粘度趋于无穷（即完全填充）时，是否可以建立离散解向连续PDE的收敛性？
• RQ4 该模型如何处理粒子聚类与接触，其对应的奇异PDE的数学结构是什么？
• RQ5 当包含惯性项或流体粘度趋于零时，系统的行为如何？

主要发现

• 宏观模型为一个奇异椭圆PDE：−∂ₓ[(1−ρ)⁻¹ ∂ₓu] = ρf，其中有效拉伸粘度与局部流体分数 (1−ρ) 成反比。
• 该模型允许粒子接触（ρ = 1），导致局部粘度无穷大，且连续形式自然地描述了宏观团簇。
• 在速度和梯度的适当有界性假设下，严格证明了离散解序列向连续PDE解的弱收敛性。
• 由于相对速度表达式中包含因子 (1−ρᵢ)，速度梯度在 ε 中一致有界，即使在接近接触时也不会发散。
• 对时变系统的推广得到一个耦合系统：∂ₜρ + ∂ₓ(ρu) = 0 和 ∂ₜ(ρu) + ∂ₓ(ρu²) − ∂ₓ[(1−ρ)⁻¹ ∂ₓu] = ρf，其形式类似于具有奇异粘度的1D无压Navier-Stokes系统。
• 在流体粘度趋于零的极限（ε→0）下，该模型表明存在一种类似胶着的粒子系统，具有类似压力的场和历史追踪场 γ，与低粘度区域中避免接触的先前工作一致。