[论文解读] Microlocal analysis in the dual of a Colombeau algebra: generalized wave front sets and noncharacteristic regularity

Claudia Garetto|ArXiv.org|Nov 11, 2005

Mathematical and Theoretical Analysis参考文献 46被引用 32

一句话总结

本文为Colombeau代数 ${\cal G}_{\mathrm{c}}(\Omega)$ 对偶空间中的泛函引入了广义波前集——${\cal G}$-和 ${\cal G}^\infty$-波前集，建立了广义泛函的微局部正则性理论。它给出了傅里叶变换表征，并证明了基本泛函的非特征正则性定理，通过拟微分算子技术将经典微局部分析推广到Colombeau设定。

ABSTRACT

We introduce different notions of wave front set for the functionals in the dual of the Colombeau algebra $\Gc(\Om)$ providing a way to measure the $\G$ and the $\Ginf$- regularity in $\LL(\Gc(\Om),\wt{\C})$. For the smaller family of functionals having a ``basic structure'' we obtain a Fourier transform-characterization for this type of generalized wave front sets and results of noncharacteristic $\G$ and $\Ginf$-regularity.

研究动机与目标

• 为Colombeau代数 $\mathcal{L}({\cal G}_{\mathrm{c}}(\Omega),\widetilde{\mathbb{C}})$ 对偶空间中的泛函发展微局部正则性理论。
• 定义并表征测量此类泛函的 ${\cal G}$ 和 ${\cal G}^\infty$-正则性的广义波前集。
• 通过具有广义符号的拟微分算子，将广义函数的非特征正则性结果扩展到对偶空间。
• 提供具有“基本结构”的泛函的波前集的傅里叶变换表征。

提出的方法

• 将 ${\cal G}$-波前集 $\mathrm{WF}_{\cal G}(T)$ 和 ${\cal G}^\infty$-波前集 $\mathrm{WF}_{{\cal G}^\infty}(T)$ 定义为将 $T$ 映射到 ${\cal G}(\Omega)$ 或 ${\cal G}^\infty(\Omega)$ 的拟微分算子的广义非椭圆性的锥形区域的交集。
• 通过分析 $T$ 的傅里叶变换在 $\mathbb{R}^n$ 的锥形子集上乘以截断函数后的行为，建立傅里叶变换表征。
• 将注意力限制在“基本泛函”上，其由满足一致连续性且 $Tu = [(T_\varepsilon u_\varepsilon)_\varepsilon] \in \widetilde{\mathbb{C}}$ 的网 $(T_\varepsilon)$ 定义。
• 应用具有慢标度符号的广义拟微分算子理论，特别是先前工作中提出的参数构造和符号演算。
• 通过满足 $AT \in {\cal G}(\Omega)$ 或 ${\cal G}^\infty(\Omega)$ 的经典紧支集算子 $A$，定义 $\mathrm{W}_{\mathrm{cl},{\cal G}}(T)$ 和 $\mathrm{W}_{\mathrm{cl},{\cal G}^\infty}(T)$。
• 通过此类算子的特征集的交集，证明波前集与这些基于算子的表征之间的等价性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何为Colombeau代数对偶空间中的泛函测量微局部正则性？
• RQ2 对于不是广义函数而是对偶空间中分布的泛函，波前集的适当推广是什么？
• RQ3 能否为这类泛函的广义波前集建立基于傅里叶变换的表征？
• RQ4 非特征正则性从广义函数扩展到Colombeau代数对偶空间的范围有多大？
• RQ5 ${\cal G}$-和 ${\cal G}^\infty$-波前集与分布的经典波前集在嵌入下有何关系？

主要发现

• ${\cal G}$-波前集 $\mathrm{WF}_{\cal G}(T)$ 和 ${\cal G}^\infty$-波前集 $\mathrm{WF}_{{\cal G}^\infty}(T)$ 对 $\mathcal{L}({\cal G}_{\mathrm{c}}(\Omega),\widetilde{\mathbb{C}})$ 中的所有泛函均有良好定义，且通过拟微分算子得到完整表征。
• 对于基本泛函，波前集与基于算子的集合 $\mathrm{W}_{\mathrm{cl},{\cal G}}(T)$ 和 $\mathrm{W}_{\mathrm{cl},{\cal G}^\infty}(T)$ 一致，后者定义为将 $T$ 映射到 ${\cal G}(\Omega)$ 或 ${\cal G}^\infty(\Omega)$ 的算子的特征集的交集。
• 建立了傅里叶变换表征：波前集由 $T$ 的傅里叶变换在锥形区域乘以截断函数后的衰减性质决定。
• 非特征正则性结果成立：对具有慢标度符号的紧支集拟微分算子 $P$，有 $\mathrm{WF}_{\cal G}(T) \subseteq \mathrm{WF}_{\cal G}(PT) \cup \mathrm{Ell}_{\mathrm{sc}}(p)^c$ 和 $\mathrm{WF}_{{\cal G}^\infty}(T) \subseteq \mathrm{WF}_{{\cal G}^\infty}(PT) \cup \mathrm{Ell}_{\mathrm{sc}}(p)^c$。
• 在标准嵌入 $\iota_d$ 下，分布 $w$ 的 ${\cal G}^\infty$-波前集与其中经典波前集一致：$\mathrm{WF}_{{\cal G}^\infty}(\iota_d(w)) = \mathrm{WF}(w)$。