[论文解读] Microlocal branes are constructible sheaves

David Nadler|arXiv (Cornell University)|Dec 14, 2006

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 17被引用 14

一句话总结

本文建立了紧致实解析流形 $X$ 上可构造层的微分graded范畴与 $T^*X$ 的Fukaya范畴的三角化包之间的准等价性，证明了微局部branes（即 $T^*X$ 中的拉格朗日子流形branes）在范畴上等价于可构造层。关键结果是微局部化函子 $\mu_X$ 不仅完全忠实，而且本质满射，从而在范畴上将两者等同，并将特征循环同构提升至导出范畴层面。

ABSTRACT

Let $X$ be a real analytic manifold, and let $T^*X$ be its cotangent bundle. In a recent paper with E. Zaslow \cite{NZ}, we showed that the dg category $Sh_c(X)$ of constructible sheaves on $X$ quasi-embeds into the triangulated envelope $F(T^*X)$ of the Fukaya category of $T^*X$. We prove here that the quasi-embedding is in fact a quasi-equivalence. When $X$ is complex, one may interpret this as a topological analogue of the identification of Lagrangian branes in $T^*X$ and holonomic $D_X$-modules developed by Kapustin and Kapustin-Witten from a physical perspective. As a concrete application, we show that compact connected exact Lagrangians in $T^*X$ (with some modest homological assumptions) are equivalent in the Fukaya category to the zero section. In particular, this determines their (complex) cohomology ring and homology class in $T^*X$, and provides a homological bound on their number of intersection points. An independent characterization of compact branes in $T^*X$ has recently been obtained by Fukaya-Seidel-Smith.

研究动机与目标

• 建立紧致实解析流形 $X$ 上可构造层的微分graded范畴与 $T^*X$ 的Fukaya范畴的三角化包之间的准等价性。
• 将微局部化函子 $\mu_X$ 从完全忠实嵌入扩展为准等价，从而在范畴上将可构造层与微局部branes等同。
• 在适度同调假设下，提供 $T^*X$ 中紧致精确拉格朗日子流形的同调特征刻画，表明其在Fukaya范畴中与零截面等价。
• 证明Fukaya范畴中的 $A_\infty$-计算在兼容几乎复结构的选择下保持不变，并且对taming扰动也保持不变，从而确保构造的不变性。

提出的方法

• 构造一个微局部化 $A_\infty$-函子 $\mu_X: Sh_c(X) \to F(T^*X)$，将可构造层的微分graded范畴嵌入到 $T^*X$ 的Fukaya范畴的三角化包中。
• 证明诱导的上同调函子 $H(\mu_X): D_c(X) \to DF(T^*X)$ 不仅完全忠实，而且本质满射，从而建立准等价性。
• 利用非特征同伦与延续映射，将branes之间的Floer理论计算与层论构造联系起来，特别是通过对角branes和乘积branes。
• 通过伪全纯多边形模空间的先验直径界，利用同伦论证证明 $A_\infty$-运算在兼容几乎复结构 $J$ 的变化下保持不变。
• 通过构造一个从 $[0,1]$ 到几乎复结构的连续族，证明taming扰动不会影响 $A_\infty$-运算。
• 依赖于伪全纯多边形模空间的紧致性与tame条件，确保计算是有限确定且不变的。

实验结果

研究问题

• RQ1 微局部化函子 $\mu_X$ 是 $Sh_c(X)$ 与 $F(T^*X)$ 之间的准等价，还是仅是完全忠实嵌入？
• RQ2 可构造函数与锥状拉格朗日循环之间的特征循环同构能否被提升为导出范畴中的范畴等价？
• RQ3 在标准同调假设下，$T^*X$ 中的紧致连通精确拉格朗日子流形是否在Fukaya范畴中与零截面等价？
• RQ4 $T^*X$ 的Fukaya范畴的 $A_\infty$-结构在兼容几乎复结构的变化下是否保持不变？
• RQ5 Fukaya范畴的三角化包能否通过微局部化完全由可构造层描述？

主要发现

• 微局部化函子 $\mu_X$ 在可构造层的微分graded范畴 $Sh_c(X)$ 与 $T^*X$ 的Fukaya范畴的三角化包 $F(T^*X)$ 之间诱导出准等价，证明了微局部branes在范畴上等价于可构造层。
• 上同调层面上的函子 $H(\mu_X): D_c(X) \to DF(T^*X)$ 是三角范畴之间的等价，而不仅仅是完全忠实。
• $T^*X$ 中的紧致连通精确拉格朗日子流形在 $DF(T^*X)$ 中同构于零截面，意味着它们具有相同的上同调环与同调类。
• $Fukaya$ 范畴中的 $A_\infty$-运算在兼容几乎复结构的变化与taming扰动下保持不变，确保了构造的良定义与鲁棒性。
• 特征循环同态 $CC$ 与K-群 $K_0$ 及微局部化函子构成交换图，确认了与经典结果的一致性。
• 三角化包 $F(T^*X)$ 由 $\mu_X$ 的像生成，因此 $DF(T^*X)$ 中的每个对象均可通过微局部化从可构造层得到。