[论文解读] Microlocal condition for non-displaceablility

Dmitry Tamarkin|ArXiv.org|Sep 9, 2008

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 1被引用 46

一句话总结

本文引入了一种基于 Kashiwara-Schapira 的层的微局部理论的新型微局部层论条件，用于判断余切丛中紧致子集的不可平移性，且该方法独立于 Floer 上同调。关键结果表明，在哈密顿对称微分同胚下，复射影空间中的实射影空间与 Clifford 环面是相互不可平移的，该结论通过到 $T^*\mathrm{SU}(N)$ 的拉格朗日子对应以及新准则的证明得以建立。

ABSTRACT

We formulate a sufficient condition for non-displaceability (by Hamiltonian symplectomorphisms which are identity outside of a compact) of a pair of subsets in a cotangent bundle. This condition is based on micro-local analysis of sheaves on manifolds by Kashiwara-Schapira. This condition is used to prove that the real projective space and the Clifford torus inside the complex projective space are mutually non-displaceable

研究动机与目标

• 通过微局部层论发展一种判断余切丛中紧致子集不可平移性的新充分条件。
• 为辛拓扑中不可平移性的证明提供一种独立于 Floer 理论的方法。
• 利用该新准则建立 $\mathbb{RP}^N$ 与 $\mathbb{CP}^N$ 中 Clifford 环面的不可平移性。
• 通过到 $T^*\mathrm{SU}(N)$ 的拉格朗日子对应，建立微局部层不变量与辛不变量之间的联系。

提出的方法

• 将范畴 $\mathcal{D}(X)$ 定义为 $X \times \mathbb{R}$ 上层的导出范畴的商范畴，模去微局部支撑于 $\Omega_{\leq 0}$ 的对象，其中 $\Omega_{\leq 0}$ 是 $\partial_t$-分量非正的 1-形式集合。
• 引入对象 $F \in \mathcal{D}(X)$ 的微局部支撑 $\mathrm{SS}_{\mathcal{D}}(F)$，定义为该对象的微局部支撑与 $\Omega_{>0}$ 的交集，其中 $\Omega_{>0}$ 是 $\partial_t$-分量为正的 1-形式集合。
• 对于子集 $A \subset T^*X$，定义 $\mathcal{D}_A(X)$ 为 $\mathcal{D}(X)$ 的全子范畴，其对象的微局部支撑位于 $\mathrm{Cone}(A) \subset \Omega_{>0}$ 中。
• 对 $c > 0$，在 $\mathcal{D}_A(X)$ 上构造一个自然变换 $\tau_c: \mathrm{id} \to T_{c*}$，该变换由 $\mathbb{R}$-因子上的平移诱导。
• 提出不可平移性条件：若对所有 $c \geq 0$，诱导映射 $R\hom(F_A, F_B) \to R\hom(F_A, T_{c*}F_B)$ 不恒为零，则 $A$ 与 $B$ 是不可平移的。
• 通过 $T^*\mathrm{SU}(N)$ 与 $\mathbb{CP}^N \times (\mathbb{CP}^N)^{\mathrm{opp}}$ 之间的拉格朗日子对应，将 $\mathbb{CP}^N$ 中的不可平移性问题约化为余切丛设定下的问题。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在不依赖 Floer 上同调的前提下，利用微局部层论判断辛流形中子集的不可平移性？
• RQ2 在余切丛中，保证两个紧致子集不可平移性的精确微局部条件是什么？
• RQ3 如何通过层论方法建立 $\mathbb{RP}^N$ 与 $\mathbb{CP}^N$ 中 Clifford 环面的不可平移性？
• RQ4 是否存在一种自然方式，将 $H(F_A, F_B)$ 上的 Novikov 模结构与 Floer 上同调联系起来？

主要发现

• 本文建立了一个基于映射 $R\hom(F_A, F_B) \to R\hom(F_A, T_{c*}F_B)$ 对所有 $c \geq 0$ 不恒为零的充分条件，用于判断 $T^*X$ 中的不可平移性。
• 在哈密顿对称微分同胚下，$\mathbb{RP}^N$ 与 $\mathbb{CP}^N$ 中的 Clifford 环面 $\mathbb{T}^N$ 是相互不可平移的。
• 该不可平移性结果通过到 $T^*\mathrm{SU}(N)$ 的拉格朗日子对应得以证明，从而将问题约化为余切丛设定。
• Novikov 环作用于模 $H(F_A, F_B)$，该模捕捉了不变量的非挠部分，暗示其与 Floer 上同调之间存在联系。
• 该微局部条件独立于 Floer 理论，依赖于范畴 $\mathcal{D}(X)$ 及其在 $\Omega_{>0}$ 中的微局部支撑。
• 该构造利用平移函子 $T_{c*}$ 和自然变换 $\tau_c$，在同调复形上定义了 $\mathbb{R}_{\geq 0}$ 的作用，从而产生一种类似 Novikov 的模结构。