[论文解读] Microlocal Morse theory of wrapped Fukaya categories

Sheel Ganatra, John Pardon+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 24, 2018

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 57被引用 47

一句话总结

论文证明 cotangent bundles 的部分 wrapped Fukaya 类在一个子解析的等向集合处停止，与在该停止中的微支撑的未界导出范畴中的紧对象之间的等价，并通过一个微观框架扩展至稳定极化的 Weinstein 区域。

ABSTRACT

The Nadler--Zaslow correspondence famously identifies the finite-dimensional Floer homology groups between Lagrangians in cotangent bundles with the finite-dimensional Hom spaces between corresponding constructible sheaves. We generalize this correspondence to incorporate the infinite-dimensional spaces of morphisms 'at infinity', given on the Floer side by Reeb trajectories (also known as "wrapping") and on the sheaf side by allowing unbounded infinite rank sheaves which are categorically compact. When combined with existing sheaf theoretic computations, our results confirm many new instances of homological mirror symmetry. More precisely, given a real analytic manifold $M$ and a subanalytic isotropic subset $Λ$ of its co-sphere bundle $S^*M$, we show that the partially wrapped Fukaya category of $T^*M$ stopped at $Λ$ is equivalent to the category of compact objects in the unbounded derived category of sheaves on $M$ with microsupport inside $Λ$. By an embedding trick, we also deduce a sheaf theoretic description of the wrapped Fukaya category of any Weinstein sector admitting a stable polarization.

研究动机与目标

• 在非紧设置中研究 wrapped Fukaya 分类及其与层论（sheaf theory）的关系的动机。
• 将 Nadler–Zaslow 广义化，以包含无限维形态空间在无穷远处的态射（wrap）。
• 在停止处停止的 wrapped Fukaya 分类与微支撑层范畴中的紧对象之间建立一个精确的等价。

提出的方法

• 定义并研究部分 wrapped Fukaya 类 W(X, Lambda)，其在 Lambda 处停止。
• 使用分层、微局部层理论与微局部 Morse 理论来表征对象与态射。
• 通过比较在 Lambda 上的函子及其在包含（Lambda ⊆ Lambda'）下的行为，证明一个公理驱动的等价。
• 通过微局部 Morse 描述和 wrapping 平行三角形，将 linking disks 与 microstalks 联系起来。
• 扩展到具有子解析等向停止与稳定极化的实解析 Liouville 流形 X，以获得到微局部层范畴的函子。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以用微局部层理论来完全描述在子解析等向停止 Lambda 处停止的部分 wrapped Fukaya 分类？
• RQ2 Perf W(T* M, Lambda)^{op} 是否与 Sh_Lambda(M) 的紧对象同构/等同？
• RQ3 wrap/stop 操作如何对应于在层范畴侧的微局部范畴操作？
• RQ4 通过二倍化/反微局部化方法，能否将 cotangent 丛情形推广到一般的稳定极化 Weinstein 区域？
• RQ5 在同调镜像对称性方面，以微局部层与 wrapped Floer 理论为基础，会带来哪些含义？

主要发现

• 对于实解析的 M 以及内含于 S^*M 的子解析等向 Lambda，有一个规范等价 Perf W(T* M, Lambda)^{op} ≃ Sh_Lambda(M)^{c}。
• 该等价将平滑 Legendrian 点处的 linking disks 送到 microstalk 函子的对表征，将 cotangent fibers 送到 stalk 函子的对表征。
• 该结果通过在未界导出范畴中具有在 Lambda 的微支撑的紧对象来描述 wrapped Fukaya 类的层论。
• 该方法依赖于将 Lambda ↦ Perf W(T* M, Lambda)^{op} 公理化，并在包含下使其与 Lambda ↦ Sh_Lambda(M)^{c} 相匹配，借助 Whitney 分层和微局部 Morse 理论。
• 定理 1.4 将等价推广到一般稳定极化的 Liouville 流形，將 Perf W(X, Lambda)^{op} 嵌入 μ sh_{c_{X, Lambda}}(c_{X, Lambda})^{c}，在 Weinstein/同调共核下成为等价。
• 该框架为将镜像对称中的许多计算重新解释为微局部层范畴的计算提供了一条路径。