[论文解读] Middle-Square Weyl Sequence RNG

Bernard Widynski|arXiv (Cornell University)|Apr 2, 2017

Chaos-based Image/Signal Encryption参考文献 5被引用 3

一句话总结

本文提出了一种新型随机数生成器（RNG），结合约翰·冯·诺伊曼的中方法与威爾序列，以克服经典的“零机制”问题。通过将威爾序列（通过奇数常量的模加法生成）加至状态的平方，该方法确保了至少 $2^{64}$ 的周期、均匀的输出分布，并仅需四条机器指令即可高效执行，且通过了 BigCrush 和 PractRand 等严格统计测试。

ABSTRACT

In this article, we propose a new implementation of John von Neumann's middle-square random number generator (RNG). A Weyl sequence keeps the generator running through a long period.

研究动机与目标

• 通过引入威爾序列以维持状态多样性，解决冯·诺伊曼中方法 RNG 的根本缺陷——其易坍缩为零或短周期的问题。
• 仅使用 64 位算术和最小计算开销，确保长周期、均匀的随机数生成。
• 设计一种既高效又统计稳健的密码学适用 RNG，适用于高性能和并行计算环境。
• 在保持简洁与速度的同时，实现与梅森旋转算法相当的统计质量，通过紧凑的内联实现达成。

提出的方法

• RNG 使用一个 64 位状态变量 `x`，初始化为非零值，以及一个独立的 64 位威爾序列状态 `w`，初始化为零。
• 在每次迭代中，`x` 被平方（模 $2^{64}$），然后威爾序列值 `w` 通过 `w += s` 更新，其中 `s` 是一个奇数常量（例如 0xb5ad4eceda1ce2a9）。
• 通过算术右循环移位操作提取 64 位结果的中间 32 位：`return (x >> 32) | (x << 32);`，有效实现旋转后选取高位 32 位。
• 威爾序列在数学上被证明具有 $2^{64}$ 的周期，且由于 `s` 的奇性，在前 $2^{64}$ 个元素中不包含重复值，从而确保状态多样性。
• 操作顺序——先平方，再加威爾项——确保了输出分布的均匀性，如定理 C 所证明：非均匀但类似随机的 `x²` 与均匀的威爾序列 `w` 的和，可产生均匀的输出。

实验结果

研究问题

• RQ1 通过集成威爾序列，中方法是否可避免‘零机制’和长周期问题？
• RQ2 将威爾序列加至状态平方是否能确保至少 $2^{64}$ 的周期？
• RQ3 在状态平方输入非均匀分布时，改进后的中方法 RNG 输出分布是否仍为统计均匀？
• RQ4 该 RNG 是否能在保持紧凑与高效的同时，实现与梅森旋转算法等成熟生成器相当的统计质量？
• RQ5 鉴于其长周期与统计稳健性，该 RNG 是否具备密码学适用性？

主要发现

• 通过 `w += s` 生成的威爾序列，其中 `s` 为奇数，其周期恰好为 $2^{64}$，且在范围 [0, $2^{64}-1$] 内的所有值在重复前恰好出现一次。
• 带威爾序列加法的中方法 RNG 对状态 `x` 的最小周期为 $2^{64}$，如定理 B 所证明：由于威爾值不同，相等的 `x` 值不会导致重复循环。
• 输出分布是均匀的，如定理 C 所示：非均匀的 `x²` 与均匀的威爾序列 `w` 的和，可产生均匀的输出流。
• 该 RNG 仅需四条机器指令（imulq, iaddq, iaddq, rorq）即可编译，支持高效内联使用，适用于紧密循环中的高性能计算。
• 该生成器首次通过了 BigCrush 和 PractRand 统计测试套件，证实其统计质量可靠。
• 该设计具备密码学适用性，经 arXiv 分类于密码学与安全领域，且因严格遵循 C 标准，可在各类编译器中稳定运行。