[论文解读] Mild and classical solutions for fractional evolution differential equation

J. Vanterler da C. Sousa, Thabet Abdeljawad+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 14, 2019

Nonlinear Differential Equations Analysis参考文献 39被引用 4

一句话总结

本文在巴拿赫空间中建立了涉及希尔弗分数阶导数的分数阶演化微分方程的温和解与经典解的存在性与唯一性。通过巴拿赫压缩映射原理、格朗沃尔不等式以及一个$(\alpha,\beta)$-预解算子函数，作者证明了在适当条件下，存在唯一解，且解对初值连续依赖。

ABSTRACT

Investigating the existence, uniqueness, stability, continuous dependence of data among other properties of solutions of fractional differential equations, has been the object of study by an important range of researchers in the scientific community, especially in fractional calculus. And over the years, these properties have been investigated more vehemently, as they enable more general and new results. In this paper, we investigate the existence and uniqueness of a class of mild and classical solutions of the fractional evolution differential equation in the Banach space $Ω$. To obtain such results, we use fundamental tools, namely: Banach contraction theorem, Gronwall inequality and the $β$-times integrated $β$-times integrated $α$-resolvent operator function of an $(α,β)$-resolvent operator function.

研究动机与目标

• 研究一类带有希尔弗导数的分数阶演化微分方程的温和解与经典解的存在性与唯一性。
• 通过引入更具一般性的希尔弗导数，扩展现有分数阶微分方程的结果，该导数统一了黎曼-刘维尔导数与卡波托导数。
• 利用泛函分析工具，建立解对初值与系统参数的连续依赖性。
• 在希尔弗分数阶演化方程的背景下，引入一种通过$\beta$-重积分$\alpha$-预解算子函数定义的新一类解。
• 为研究带有非局部条件与分布时滞的分数阶演化方程提供一个严格框架。

提出的方法

• 利用巴拿赫压缩映射定理，在连续函数的完备度量空间中证明温和解的存在性与唯一性。
• 应用广义格朗沃尔不等式，建立解在$C_{1-\gamma}$-空间中的连续性与稳定性性质。
• 利用与$(\alpha,\beta)$-预解算子相关的$\beta$-重积分$\alpha$-预解算子函数来定义温和解。
• 使用希尔弗分数阶导数$^H\!\mathbb{D}_{t_0^+}^{\alpha,\beta}$，其中$0 < \alpha \leq 1$且$0 \leq \beta \leq 1$，该导数统一了黎曼-刘维尔与卡波托导数。
• 通过涉及Mittag-Leffler函数与核$K_\alpha(t-s)$的积分方程来定义温和解，该核由预解算子导出。
• 验证温和解满足原始分数阶微分方程与初值条件，从而证明其为经典解。

实验结果

研究问题

• RQ1 在巴拿赫空间中，希尔弗导数的分数阶演化方程在何种条件下存在温和解？
• RQ2 在非局部初值条件与分布时滞下，如何建立温和解的唯一性？
• RQ3 在希尔弗型分数阶演化方程的背景下，温和解与经典解之间有何关系？
• RQ4 $\beta$-重积分$\alpha$-预解算子函数如何影响方程的解结构？
• RQ5 广义格朗沃尔不等式在证明解对初值与系统参数的连续依赖性中起什么作用？

主要发现

• 在非线性项满足利普希茨连续性与预解算子有界性的假设下，通过巴拿赫压缩映射原理，建立了温和解的存在性与唯一性。
• 证明了经典解与温和解一致，从而验证了温和解在物理与工程应用中的强适用性。
• 通过格朗沃尔不等式与$C_{1-\gamma}$-空间中预解算子的有界性，证明了解对初值的连续依赖性。
• 解满足初值条件$I_{t_0^+}^{1-\gamma}u(t_0^+) + \sum_{k=1}^p C_k I_{t_0^+}^{1-\gamma}u(t_k) = u_0$，确保与非局部条件的一致性。
• 通过估计式$\|u(t+h) - u(t)\|_{C_{1-\gamma}} \leq \widetilde{\delta}h \mathbb{E}_\alpha[MC(1+rk)\Gamma(\alpha)a^\alpha]$证明了解的时间连续性，其中$\mathbb{E}_\alpha$为Mittag-Leffler函数。
• 证明确认了温和解$u(t)$满足原始方程(1.1)–(1.2)，因此在给定假设下验证其为经典解。