[论文解读] Mild and viscosity solutions to semilinear parabolic path-dependent PDEs

Alexander Kalinin, Alexander Schied|arXiv (Cornell University)|Nov 24, 2016

Stochastic processes and financial applications参考文献 18被引用 5

一句话总结

本文证明，在较弱的正则性条件下（特别是右连续性），半线性抛物型路径依赖PDE（PPDE）的温和解也是粘性解。关键贡献在于证明了在随机控制和历史超过程中常见的温和解满足粘性解概念，从而确保其作为值函数的解释，并由此得出此类PPDE的粘性解的一般存在性结果。

ABSTRACT

We study and compare two concepts for weak solutions to semilinear parabolic path-dependent partial differential equations (PPDEs). The first is that of mild solutions as it appears, e.g., in the log-Laplace functionals of historical superprocesses. The aim of this paper is to show that mild solutions are also solutions in a viscosity sense. This result is motivated by the fact that mild solutions can provide value functions and optimal strategies for problems of stochastic optimal control. Since unique mild solutions exist under weak conditions, we obtain as a corollary a general existence result for viscosity solutions to semiilinear parabolic PPDEs.

研究动机与目标

• 建立半线性抛物型路径依赖PDE的温和解与粘性解之间的等价性。
• 证明在弱条件下存在的温和解也是粘性解，从而验证其在随机控制中作为值函数使用的合理性。
• 通过证明测试函数空间可较之前的工作更大，从而强化粘性解框架，得到更稳健的解概念。
• 作为温和解存在性与等价性的推论，提供半线性抛物型PPDE粘性解的一般存在性结果。

提出的方法

• 本文引入基于Skorokhod拓扑和度量 $ d_S $ 的路径空间新设定，便于分析非预测泛函。
• 基于Dupire和Cont–Fournié的框架，定义路径空间上的水平导数与垂直导数，从而以路径方式表述PPDE。
• 通过涉及条件期望和时间积分非线性项的前向积分方程定义温和解，推广了历史超过程的对数拉普拉斯泛函。
• 通过证明在右连续性假设下，温和解满足粘性次解与超解条件，建立温和解与粘性解之间的等价性。
• 证明依赖于渐进可测性与Borel可测性论证，利用了解映射的非预测结构。
• 作者扩展了粘性理论中使用的测试函数类，得到强于先前工作（如Ekren等，2014）的解概念。

实验结果

研究问题

• RQ1 在弱正则性条件下，能否证明半线性抛物型PPDE的温和解满足粘性解定义？
• RQ2 温和解的存在性是否意味着同一类PPDE的粘性解也存在？
• RQ3 粘性解概念与随机最优控制问题中的值函数有何关系？
• RQ4 在保持解性质的前提下，能否扩大粘性解框架中的测试函数类？
• RQ5 温和解成为粘性解所需的最小正则性条件是什么？

主要发现

• 在 $ d_∞ $-拓扑下右连续性假设下，半线性抛物型PPDE的温和解是粘性解。
• 即使解不连续，只要右连续，温和解与粘性解的等价性仍然成立。
• 在仿射情形下，可完全去除右连续性假设，得到更强的结果。
• 与先前工作相比，粘性解定义中使用的测试函数空间可被扩大，从而得到严格更强的解概念。
• 作为推论，建立了半线性抛物型PPDE粘性解的一般存在性结果，该结果由弱条件下温和解的存在性与等价性导出。
• 证明了具有幂型生成器 $ f(z) = \alpha z^p $，$ p > 1 $ 的随机控制问题的值函数为温和解，因而也是粘性解，从而验证了其在控制理论中的适用性。