[论文解读] Mild and weak solutions of Mean Field Games problem for linear control systems

Piermarco Cannarsa, Cristian Mendico|arXiv (Cornell University)|Jul 4, 2019

Guidance and Control Systems参考文献 3被引用 4

一句话总结

本文建立了在 $\mathbb{R}^d$ 上具有线性控制动力学的一阶平均场博弈中温和解与弱解的存在性与唯一性。它引入了一种基于路径空间上测度的拉格朗日框架以定义纳什均衡，证明了均衡分布的赫尔德连续性以及价值函数的分数阶拟凹性，并通过不动点论证与动态规划原理展示了温和解与弱解之间的等价性。

ABSTRACT

The aim of this paper is to study first order Mean field games subject to a linear controlled dynamics on $\\mathbb R^{d}$. For this kind of problems, we define Nash equilibria (called Mean Field Games equilibria), as Borel probability measures on the space of admissible trajectories, and mild solutions as solutions associated with such equilibria. Moreover, we prove the existence and uniqueness of mild solutions and we study their regularity: we prove H\\"older regularity of Mean Field Games equilibria and fractional semiconcavity for the value function of the underlying optimal control problem. Finally, we address the PDEs system associated with the Mean Field Games problem and we prove that the class of mild solutions coincides with a suitable class of weak solutions.

研究动机与目标

• 使用路径空间上的拉格朗日公式，定义并分析具有线性受控动力学的一阶问题的平均场博弈均衡。
• 通过在轨迹空间上的博雷尔概率测度空间中应用不动点论证，建立温和解的存在性与唯一性。
• 研究价值函数与代理人分布演化的正则性，特别是赫尔德连续性与分数阶拟凹性。
• 通过对偶性与弱形式化技术，证明温和解（通过路径空间均衡定义）与关联PDE系统弱解之间的等价性。
• 在拉格朗日函数的附加假设下，扩展正则性结果，包括均衡分布的利普希茨连续性与价值函数的时间线性拟凹性。

提出的方法

• 将状态动力学定义为 $\dot{\gamma}(t) = A\gamma(t) + Bu(t)$，其中 $A, B$ 为实矩阵，$u$ 为 $L^2$ 中的可允许控制。
• 引入路径空间 $\Gamma_T$，即赋予一致范数的绝对连续路径空间，并考虑 $\Gamma_T$ 上具有有限一阶矩的博雷尔概率测度 $\eta$。
• 定义测度流 $m_t = e_t \sharp \eta$，其中 $e_t$ 为时间 $t$ 的评估映射，表示代理人的分布。
• 将纳什均衡构造为支持在成本泛函 $\int_0^T L(\gamma(s), u(s), m_s)\,ds + G(\gamma(T), m_T)$ 的最小化轨迹上的测度 $\eta$。
• 在概率测度空间中应用不动点论证，证明在 $L$、$G$ 及控制结构的适当假设下，均衡的存在性与唯一性。
• 利用动态规划与轨迹流的估计，推导价值函数 $V(t,x)$ 的利普希茨连续性与拟凹性，并将其与 $m_t$ 的正则性联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 在一阶动力学的线性控制系统中，平均场博弈均衡在何种条件下存在？
• RQ2 基础最优控制问题的价值函数 $V(t,x)$ 具有哪些正则性性质，特别是在时间和空间上的性质？
• RQ3 均衡中代理人分布 $m_t$ 的时间演化有多规则，其在何种条件下为利普希茨连续？
• RQ4 温和解（通过路径空间均衡定义）与关联PDE系统的弱解之间存在何种关系？
• RQ5 在对拉格朗日函数的最小假设下，能否建立价值函数的分数阶拟凹性估计？

主要发现

• 价值函数 $V(t,x)$ 在 $[0,T] \times \mathbb{R}^d$ 上局部利普希茨连续，其利普希茨常数依赖于 $D_xL$、$u^*$ 与 $G$ 的界。
• 在标准假设下，分布 $m_t$ 关于时间是 $\frac{1}{2}$-赫尔德连续的，即 $\|m_t - m_s\|_{\text{TV}} \leq C|t-s|^{1/2}$。
• 价值函数 $V(t,x)$ 在空间上局部拟凹，且在时间上具有分数阶拟凹模，具体而言，对某个 $\alpha \in (0,1)$，$V(t,x) + C|t-s|^{\alpha}$ 关于 $t$ 是凹的。
• 在对拉格朗日函数的附加假设下，均衡分布 $m_t$ 关于时间是利普希茨连续的，从而导致 $V$ 在时间上具有线性拟凹性。
• 通过路径空间均衡定义的温和解类与PDE系统弱解类一致，该结论通过对偶性与弱形式化技术得以证明。
• 价值函数 $V$ 的利普希茨正则性证明依赖于轨迹敏感性估计与 $D_xL$ 的界，其显式依赖于 $\|A\|$、$T$ 与 $\|u^*\rangle_{L^2}$。