[论文解读] Mildly dissipative diffeomorphisms of the disk with zero entropy

Sylvain Crovisier, Enrique Pujals+1 more|arXiv (Cornell University)|May 28, 2020

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 28被引用 6

一句话总结

本文证明了在零拓扑熵条件下，具有轻微耗散性的圆盘微分同胚要么是广义的Morse-Smale系统，要么是无限可重正化的。利用动力系统理论中的工具——特别是捕获圆盘、Pixton圆盘和重正则化理论——本文证明了此类系统在零熵与正熵之间的边界处表现出倍周期分岔，将Sharkovskii定理推广至二维耗散动力系统。

ABSTRACT

We discuss the dynamics of smooth diffeomorphisms of the disc with vanishing topological entropy which satisfy the mild dissipation property introduced in [CP]. In particular it contains the Hénon maps with Jacobian up to 1/4. We prove that these systems are either (generalized) Morse Smale or infinitely renormalizable. In particular we prove for this class of diffeomorphisms a conjecture of Tresser: any diffeomorphism in the interface between the sets of systems with zero and positive entropy admits doubling cascades. This generalizes for these surface dynamics a well known consequence of Sharkovskii's theorem for interval maps.

研究动机与目标

• 在温和耗散条件下，刻画圆盘上光滑微分同胚在零拓扑熵下的动力学行为。
• 解决一个猜想：处于零熵与正熵边界处的系统表现出倍周期分岔。
• 将一维动力系统的结果——特别是Sharkovskii定理——推广至具有耗散微分同胚的二维情形。
• 确立重正化与捕获结构在高维零熵动力学分类中的作用。
• 将Hénon映射族作为该类中的典型例子进行分析，确认当雅可比行列式 ≤ 1/4 时其表现出零熵行为。

提出的方法

• 通过γ-耗散准则引入温和耗散的概念，确保体积收缩但不具有强双曲性。
• 应用Lefschetz公式与不动点判据，分析周期轨道及其稳定性与不变流形的关系。
• 利用Pixton圆盘与由稳定/不稳定弧及竖直/水平线段围成的若尔当区域构造捕获圆盘。
• 应用倾角引理证明所构造区域的前向不变性，从而识别不变集与遍历性。
• 采用局部与全局重正则化技术，分析周期点的结构及其聚点行为。
• 应用Brouwer平面平移定理，排除在不变流形或捕获区域之外的循环行为。

实验结果

研究问题

• RQ1 在零拓扑熵条件下，温和耗散的圆盘微分同胚会涌现出何种动力学结构？
• RQ2 处于零熵与正熵边界处的系统是否如一维映射一样表现出周期倍化分岔？
• RQ3 当雅可比行列式 ≤ 1/4 时，Hénon映射的动力学行为能否被归类为广义Morse-Smale系统或无限可重正化系统？
• RQ4 捕获圆盘与Pixton圆盘构造在刻画遍历性与非游荡集方面起到何种作用？
• RQ5 Sharkovskii关于周期轨道的层次结构在二维耗散微分同胚中能在多大程度上被推广？

主要发现

• 任何在零拓扑熵条件下具有温和耗散性的圆盘微分同胚，要么是广义Morse-Smale系统，要么是无限可重正化系统。
• Tresser的猜想得到证实：处于熵边界处的系统表现出倍周期分岔，推广了一维情形下的周期倍化转变。
• 当雅可比行列式 ≤ 1/4 时，Hénon映射属于此类系统，且要么是广义Morse-Smale系统，要么是无限可重正化系统。
• 可在具有非图形不稳定或稳定分支的周期点周围构造捕获圆盘，通过竖直与水平线段形成不变的若尔当代数区域。
• 无周期环的存在性，以及与稳定周期点相关的点的递减链结构，导致稳定周期点构成有限集。
• 在不变流形与捕获区域之外的动力学行为会趋向无穷远，这与Brouwer平面上的定理推断一致。