[论文解读] Mills' ratio: Reciprocal concavity and functional inequalities

Árpád Baricz|arXiv (Cornell University)|Oct 15, 2010

Bayesian Methods and Mixture Models参考文献 11被引用 3

一句话总结

本文利用完全单调性及L'Hôpital法则的单调形式等性质，建立了连续单变量分布的Mills比率互为凸或凹的充分条件。研究推导了伽马分布、对数正态分布和学生t分布的Mills比率的函数不等式，并将其应用于垄断理论。

ABSTRACT

AbstractThis note contains sufficient conditions for the probability density function of an arbitrary continuousunivariate distribution such that the corresponding Mills ratio to be reciprocally convex (concave). Toillustrate the applications of the main results, the Mills ratio of some common continuous univariate dis-tributions, like gamma, log-normal and Student’s t distributions, are discussed in details. The applicationto monopoly theory is also summarized. Keywords: Mills ratio, Reciprocally convex (concave) functions, Monotone form of l’Hospital’s rule,Statistical distributions, Completely monotonic functions, Stieltjes transform1. IntroductionBy definition (see [Me]) a function f : [a,b] ⊆ (0,∞) → Ris said to be (strictly) reciprocally convexif x → f(x) is (strictly) concave and x → f(1/x) is (strictly) convex on [a,b]. Merkle [Me] showed thatf is reciprocally convex if and only if for all x,y ∈ [a,b] we havef2xyx +y≤f(x) + f(y)2≤ fx+y2≤xf(x) +yf(y)x+y. (1)We note here that in fact the third inequality follows from the fact that the function x → f(1/x) is convexon [a,b] if and only if x → xf(x) is convex on [a,b]. In what follows, a function g : [a,b] ⊆ (0,∞) → Rissaid to be (strictly) reciprocally concave if and only if −g is (strictly) reciprocally convex, i.e. if x → g(x)is (strictly) convex and x → g(1/x) is (strictly) concave on [a,b]. Observe that if f is differentiable, thenx → f(1/x) is (strictly) convex (concave) on [a,b] if and only if x → x

研究动机与目标

• 确定连续单变量分布的Mills比率互为凸或凹的充分条件。
• 利用函数不等式分析常见分布（伽马分布、对数正态分布和学生t分布）的Mills比率。
• 将理论结果应用于经济模型，特别是垄断理论。
• 拓展L'Hôpital法则的单调形式与完全单调函数在Mills比率研究中的应用。
• 建立互为凸性与分布分析中Stieltjes变换之间的联系。

提出的方法

• 采用互为凸函数的定义：若f(1/x)在[a,b]上为凸函数且f(x)为凹函数，则f为互为凸函数。
• 应用L'Hôpital法则的单调形式，分析函数比值的单调性，尤其在Mills比率的语境下。
• 利用完全单调函数的概念，推导Mills比率呈现互为凸性的条件。
• 使用不等式链f(2xy/(x+y)) ≤ (f(x)+f(y))/2 ≤ f((x+y)/2) ≤ (xf(x)+yf(y))/(x+y)作为互为凸性的表征。
• 分析变换x → xf(x)，将f(1/x)的凸性与xf(x)的凸性关联，实现函数分析。
• 在Stieltjes变换框架下，通过积分表示形式来表示和研究Mills比率。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，连续单变量分布的Mills比率是互为凸或凹的？
• RQ2 涉及调和平均与算术平均的函数不等式如何表征Mills比率的互为凸性？
• RQ3 互为凸性对伽马分布、对数正态分布和学生t分布有何影响？
• RQ4 L'Hôpital法则的单调形式如何用于分析Mills比率的单调性？
• RQ5 Mills比率的互为凸性如何影响垄断理论中的模型？

主要发现

• 在特定参数约束下，伽马分布的Mills比率是互为凸的，该结论通过完全单调性得以证明。
• 对于对数正态分布，当其对应的正态分布具有足够大的方差时，Mills比率是互为凸的。
• 学生t分布的Mills比率在自由度大于某一阈值时为互为凸，该结论通过渐近分析与单调性分析推导得出。
• 对于互为凸的Mills比率，不等式链f(2xy/(x+y)) ≤ (f(x)+f(y))/2 ≤ f((x+y)/2) ≤ (xf(x)+yf(y))/(x+y)成立，提供了函数表征。
• 变换x → xf(x)在f(1/x)为凸函数时保持凸性，从而可在互为凸性分析中使用凸性判别准则。
• 在垄断理论中的应用表明，Mills比率的互为凸性会影响不对称信息下最优定价策略的结构。