[论文解读] Milner's Lambda-Calculus with Partial Substitutions

Delia Kesner, Shane Ó Conchúir|arXiv (Cornell University)|Dec 20, 2023

Logic, programming, and type systems被引用 9

一句话总结

本文证明 Milner 的 lambda 演算在元项级别的部分替换下具有一致性，保持 beta-强归一化，并通过交叉类型系统刻画强归一化项，同时将该演算与 definitions、显式替换、MELL Proof-Nets 以及 Milner 的大图模型相关联。

ABSTRACT

We study Milner's lambda-calculus with partial substitutions. Particularly, we show confluence on terms and metaterms, preservation of \b{eta}-strong normalisation and characterisation of strongly normalisable terms via an intersection typing discipline. The results on terms transfer to Milner's bigraphical model of the calculus. We relate Milner's calculus to calculi with definitions, to calculi with explicit substitutions, and to MELL Proof-Nets.

研究动机与目标

• 研究 Milner 的带部分替换的 lambda-calculus 中元项的归结性。
• 证明从普通 lambda-演算转到 lambda_sub 时，beta-强归一化的保持性。
• 利用交叉类型系统刻画强归一化的 lambda_sub 项。
• 将 lambda_sub 与含定义的计算以及显式替换的计算联系起来。
• 将 lambda_sub 转换为显式替换演算，并将归约与 MELL Proof-Nets 及大图模型相关联。

提出的方法

• 将 Milner 的 lambda_sub 计算扩展为带元变量的元项，并为元项新增一个方程和一个归约规则（C 和 R_X）。
• 在元项上定义子归约，并证明在等式 E_s 下子规范形式的存在性和唯一性。
• 通过 Tait–Martin-Löf 风格的投影到同时归约来证明元项的一致性，并确立菱形性。
• 将 lambda_sub 与 beta_p 和 lambda_def 计算相关，显示强归一化集合之间的等价性。
• 定义从 lambda_sub 到带显式替换的计算的翻译，并证明归约保持和模拟。
• 应用交叉类型规范来刻画 lambda_sub 的强归一化项，并推导带类型的 lambda_sub 项的 PSN。

实验结果

研究问题

• RQ1 Milner 的 lambda_sub 计算在元项上的归结性程度有多大？
• RQ2 beta-强归一化是否在 lambda_sub 中得到保持延展，以及如何通过类型来表征？
• RQ3 部分替换如何与定义以及带显式替换的计算相关？
• RQ4 lambda_sub 的归约能否忠实地翻译到带显式替换的计算以及 MELL Proof-Nets？
• RQ5 结果如何移植到 Milner 的大图形模型？

主要发现

• 在 Lambda-元项上建立了一致性（含新的 C 方程和 R_X 规则）。
• 子规范形式存在并在元项上的 E_s 等价性下唯一。
• 元项的完全组成成立，确保显式替换实现隐式替换。
• 提供了通过交叉类型体系对 lambda_sub-强归一化项的构造性刻画。
• 从 lambda_sub 到带显式替换的计算的翻译保留归约，从而得到简单类型项的归一化结果。
• 工作将 lambda_sub 的结果与 MELL Proof-Nets 连接，并将一致性和 PSN 结果转移到 Milner 的大图模型。