[论文解读] Milnor and Tjurina numbers for a hypersurface germ with isolated singularity

Yongqiang Liu|arXiv (Cornell University)|Aug 31, 2017

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 4被引用 4

一句话总结

该论文证明了对于复数集 $mathbb{C}^n$ 中在原点具有孤立奇点的解析函数芽，Milnor 数 $mu$ 与 Tjurina 数 $tau$ 的比值有上界 $n$，即 $mu/\tau \leq n$。当且仅当 Milnor 代数中乘以 $f$ 的核等于由 $f^{n-1}$ 生成的理想时，等号成立，从而给出了一个精确的上界，并基于重数 $m$ 和维数 $n$ 得到了 $tau$ 的新下界。

ABSTRACT

Assume that $f:(\mathbb{C}^n,0) o (\mathbb{C},0)$ is an analytic function germ at the origin with only isolated singularity. Let $μ$ and $τ$ be the corresponding Milnor and Tjurina numbers. We show that $\dfracμτ \leq n$. As an application, we give a lower bound for the Tjurina number in terms of $n$ and the multiplicity of $f$ at the origin.

研究动机与目标

• 为 $mathbb{C}^n$ 中孤立超曲面奇点的 Milnor 数 $mu$ 与 Tjurina 数 $tau$ 的比值建立一个精确的上界。
• 以 Milnor 代数中乘以 $f$ 的核的形式刻画 $mu/\tau = n$ 时的等号成立条件。
• 基于函数芽的重数 $m$ 推导出 Tjurina 数 $tau$ 的下界。
• 将该界推广至方便且非退化的芽的 Newton 数 $nu$。
• 研究所推导出的 $tau$ 下界在特殊奇点类中的最优性。

提出的方法

• 利用 Milnor 代数 $M_f = S/J_f$、Tjurina 代数 $T_f = S/(J_f, f)$ 以及乘以 $f$ 的核之间的长正合列。
• 应用 Brian鏰d-Skoda 定理，该定理表明 $f^n \in J_f$，因此在 $M_f$ 中有 $f^n = 0$，从而在 $M_f$ 中建立有限滤子列 $M_f \supset (f) \supset \cdots \supset (f^{n-1}) \supset 0$。
• 分析商空间 $(f^i)/(f^{i+1})$ 的维数，并将其与 $\dim \ker(f) = \tau$ 联系起来。
• 利用截面 Milnor 数的对数凸性，推导出不等式 $\mu \geq (m-1)^n$。
• 通过 Kushnirenko 的界 $\mu \geq \nu$（对方便的芽成立），应用 Newton 数 $\nu(f)$，推导出 $\tau \geq \nu/n$。
• 在形式幂级数环中运用代数技巧及雅可比理想的性质，分析 $M_f$ 和 $T_f$ 的结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $mathbb{C}^n$ 中，孤立超曲面奇点的 Milnor 数 $mu$ 与 Tjurina 数 $tau$ 的比值的精确上界是什么？
• RQ2 在何种条件下，比值 $mu/\tau$ 达到其最大值 $n$？
• RQ3 能否从函数芽的重数 $m$ 推导出 Tjurina 数 $tau$ 的下界？
• RQ4 下界 $\tau \geq (m-1)^n / n$ 是否最优？在何时达到？
• RQ5 对于半加权齐次或非退化的特殊奇点类，是否可以改进不等式 $mu/\tau \leq n$？

主要发现

• 在 $mathbb{C}^n$ 中，孤立超曲面奇点的 Milnor 数 $mu$ 与 Tjurina 数 $tau$ 的比值满足 $\mu/\tau \leq n$。
• 当且仅当在 Milnor 代数 $M_f$ 中有 $\ker(f) = (f^{n-1})$ 时，等式 $\mu/\tau = n$ 成立。
• Tjurina 数的下界为 $\tau \geq (m-1)^n / n$，其中 $m$ 是 $f$ 在原点的重数。
• 对于方便且非退化的芽，Tjurina 数满足 $\tau \geq \nu / n$，其中 $\nu$ 是 $f$ 的 Newton 数。
• 即使在齐次情形下，当 $n > 1$ 时，下界 $\tau \geq (m-1)^n / n$ 也永远不会被达到，因为此时 $\tau = \mu = (m-1)^n > (m-1)^n / n$。
• SINGULAR 计算的数值证据表明，在某些例子中，当 $n \leq 7$ 时，$\mu/\tau < 1.5$，远低于理论上的上界 $n$。