[论文解读] Milnor-Lê type fibrations for subanalytic maps

Rafaella de Souza Martins, Aurélio Menegon|arXiv (Cornell University)|Jun 14, 2018

Advanced Differential Equations and Dynamical Systems被引用 3

一句话总结

本文为子解析映射 $f: X \to Y$ 在 $\mathbb{R}^m$ 和 $\mathbb{R}^n$ 中的子解析集之间建立了 Milnor-Lê 型纤维丛，将经典纤维丛推广到判别集非解析的情形。证明了在分层条件下，当判别集非解析时，$f$ 在判别集外部和内部均诱导出拓扑局部平凡纤维丛，方法是将目标空间分解为子解析分层，使得 $f$ 在每个分层上为纤维丛，从而将实与复纤维丛推广至奇异及非解析情形。

ABSTRACT

We prove a Milnor-Lê type fibration theorem for a subanalytic map $f: X o Y$ between subanalytic sets $X \subset \mathbb{R}^m$ and $Y \subset \mathbb{R}^n$. Moreover, if $f$ extends to an analytic map $\mathbb{R}^m o \mathbb{R}^n$, we define the singular set and the discriminant set of $f$, in a stratified sense. Then we give Milnor-Lê type fibration theorems for $f$ outside its discriminant, as well as over it. We give examples of each situation approached in this paper.

研究动机与目标

• 将 Milnor-Lê 纤维丛推广至子解析映射 $f: X \to Y$，其中 $X \subset \mathbb{R}^m$，$Y \subset \mathbb{R}^n$，且 $f$ 可解析延拓。
• 当 $f$ 延拓至 $\mathbb{R}^m$ 上的解析映射时，以分层方式定义 $f$ 的奇异集与判别集。
• 即使判别集非解析，也在判别集外部与内部建立纤维丛。
• 将经典 Milnor-Lê 纤维丛推广至实子解析与分层情形。
• 构造显式例子，证明纤维丛在判别集上成立，包括非孤立临界点的情形。

提出的方法

• 使用子解析集与 Whitney 分层处理非解析判别集。
• 将判别集分解为嵌套的子解析集序列 $W_0 \subset \cdots \subset W_l = Z$，其维数递增，且各分层 $W_i \setminus W_{i-1}$ 光滑。
• 在每个分层 $W_i \setminus W_{i-1}$ 上应用拓扑局部平凡纤维丛，确保 $f^{-1}(W_i \setminus W_{i-1}) \cap B \to W_i \setminus W_{i-1}$ 为纤维丛。
• 当 $f$ 延拓至 $\mathbb{R}^m$ 上的解析映射时，以分层方式定义 $f$ 的奇异集与判别集。
• 构造子解析集 $W \subset \Delta_{f_B}$，满足 $\dim W < \dim \Delta_{f_B}$，使得 $\Delta_{f_B} \setminus W$ 光滑，且 $f$ 在其上限制为纤维丛。
• 使用参数化平面描述齐次多项式映射 $f(x) = (\sum a_{1j}x_j^p, \dots)$ 情形下的判别集 $\Delta_{f_B}$。

实验结果

研究问题

• RQ1 当判别集非解析时，能否为子解析映射建立 Milnor-Lê 型纤维丛？
• RQ2 当映射可解析延拓时，如何以分层方式定义子解析映射的奇异集与判别集？
• RQ3 是否可能在判别集本身上构造纤维丛，而不仅限于其外部？
• RQ4 在非孤立临界点情形下，判别集上纤维的拓扑结构如何？
• RQ5 能否构造显式例子，证明纤维丛在判别集上成立，包括齐次多项式映射的情形？

主要发现

• 对于任意子解析映射 $f: X \to Y$，若 $f$ 连续延拓至 $\mathbb{R}^m$，则存在嵌套的子解析集序列 $W_0 \subset \cdots \subset W_l = Z$，使得 $f$ 在每个分层 $W_i \setminus W_{i-1}$ 上诱导出拓扑局部平凡纤维丛。
• 当 $f$ 延拓至 $\mathbb{R}^m$ 上的解析映射时，判别集 $\Delta_{f_B}$ 为子解析集，且可分解为光滑子解析子集 $\Delta_{f_B} \setminus W$，使得 $f$ 在其上限制为纤维丛。
• 对于任意紧致子解析集 $B \subset \mathbb{R}^m$，纤维丛 $\mathbb{R}^n \setminus \Delta_{f_B}$ 成立，推广了此前对解析芽的结果。
• 在齐次多项式映射 $f(x) = (\sum a_{1j}x_j^p, \dots)$ 情形下，判别集 $\Delta_{f_B}$ 为有限个参数化平面的并集，且 $f$ 在 $\Delta_{f_B} \setminus \Sigma_\Delta$ 上诱导出纤维丛，其中 $\Sigma_\Delta$ 为判别集的奇异集。
• 在 $\Delta_{f_B} \setminus \Sigma_\Delta$ 中一点上的纤维为光滑流形，且纤维丛为拓扑局部平凡。
• 在齐次映射的例子中，显式识别出 $W = \Sigma_\Delta$，表明 $\Delta_{f_B} \setminus W$ 光滑，且 $f$ 在其上为子浸没，因此为纤维丛。