[论文解读] Milnor's triple linking numbers and derivatives of genus three knots

JungHwan Park|arXiv (Cornell University)|Mar 30, 2016

Geometric and Algebraic Topology参考文献 15被引用 3

一句话总结

本文研究了三型亏格代数光滑纽结的导出纽结的米尔诺三重 linking数，证明对于此类纽结，任意两个与固定子代谢子相关的导出纽结之间的三重 linking数之差构成一个由特定表达式生成的整数子群，该表达式涉及赛弗特矩阵。一个关键结果表明，对于具有固定赛弗特曲面和代谢子的平凡纽结，所有整数均可实现为导出纽结的三重 linking 数，且三个亏格一的代数光滑纽结的连通和至少存在一个导出纽结，其三重 linking 数非零。

ABSTRACT

A derivative of an algebraically slice knot $K$ is an oriented link disjointly embedded in a Seifert surface of $K$ such that its homology class forms a basis for a metabolizer $H$ of $K$. We show that for a genus three algebraically slice knot $K$, the set $\{ \barμ_{\{γ_1,γ_2,γ_3\}}(123) - \barμ_{\{γ'_1,γ'_2,γ'_3\}}(123)| \{γ_1,γ_2,γ_3\}$ and $\{γ'_1,γ'_2,γ'_3\}$ are derivatives of $K$ associated with a metabolizer $H\}$ contains $n\cdot \mathbb{Z}$ where $n$ is determined by a Seifert form of $K$ and a metabolizer $H$. As a corollary, we show that it is possible to realize any integer as a Milnor's triple linking number of a derivative of the unknot on a fixed Seifert surface with a fixed metabolizer. In addition, we show that a knot, which is a connected sum of three genus one algebraically slice knots, has at least one derivative which has non-zero Milnor's triple linking number.

研究动机与目标

• 理解三型亏格代数光滑纽结的导出纽结的米尔诺三重 linking 数的行为。
• 确定与固定代谢子相关的不同导出纽结之间三重 linking 数之差的集合。
• 证明任何整数均可作为具有固定赛弗特曲面和固定代谢子的平凡纽结的导出纽结的米尔诺三重 linking 数。
• 证明三个亏格一的代数光滑纽结的连通和至少存在一个导出纽结，其三重 linking 数非零。

提出的方法

• 本文使用三型赛弗特曲面的一阶同调的辛基底，其中代谢子 H 由三个同调类张成。
• 它构造了一个关于基 {a₁,b₁,a₂,b₂,a₃,b₃} 的赛弗特矩阵 M，其中条目编码了 linking 数据，且代谢子条件 β_F 在 H 上消失。
• 主要结果源自一个涉及赛弗特矩阵条目的公式：((a−1)(b−1)(c−1) − abc + x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂)，该公式生成三重 linking 数之差的集合。
• 证明依赖于赛弗特形式、代谢子以及米尔诺三重 linking 数作为链 Concordance 不变量的定义的性质。
• 通过将主定理特化到平凡纽结和亏格一代数光滑纽结的连通和，推导出推论。
• 该论证使用数论技术，包括最大公因数和贝祖等式，以构造新的代谢子并变换赛弗特矩阵。

实验结果

研究问题

• RQ1 与固定代谢子相关的三型亏格代数光滑纽结的不同导出纽结之间的米尔诺三重 linking 数之差的集合具有何种结构？
• RQ2 是否任何整数均可作为具有固定赛弗特曲面和固定代谢子的平凡纽结的导出纽结的米尔诺三重 linking 数？
• RQ3 三个亏格一的代数光滑纽结的连通和是否总是至少存在一个导出纽结，其三重 linking 数非零？
• RQ4 赛弗特矩阵和代谢子的选择如何影响导出纽结可能的三重 linking 数的范围？
• RQ5 由赛弗特矩阵导出的表达式的整数张量是否恰好等于三重 linking 数之差的集合 S_{K,H}？

主要发现

• 对于任意具有固定代谢子 H 的三型亏格代数光滑纽结 K，与 H 相关的导出纽结之间的米尔诺三重 linking 数之差的集合包含 n·((a−1)(b−1)(c−1) − abc + x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂)，其中 n ∈ ℤ。
• 对于具有固定赛弗特曲面和代谢子 H 的平凡纽结，其所有可能的导出纽结三重 linking 数的集合恰好为 ℤ，即每个整数均可实现。
• 三个亏格一的代数光滑纽结的连通和至少存在一个导出纽结，其米尔诺三重 linking 数非零。
• 对于某些亏格一纽结的赛弗特矩阵，表达式 ((e₁−1)(e₂−1)(e₃−1) − e₁e₂e₃) 非零，从而确保连通和情形下的非平凡性。
• 主定理表明集合 S_{K,H} 包含 ℤ 的一个非平凡子群，而论文未解决该集合是否恰好等于该子群。
• 该结果表明，即使是最简单的纽结（平凡纽结），其导出纽结的三重 linking 数的绝对值也可任意大，揭示了该不变量行为的复杂性。