[论文解读] Mimetic spectral element method for Hamiltonian systems

Artur Palha, Marc Gerritsma|arXiv (Cornell University)|May 13, 2015

Numerical methods for differential equations参考文献 66被引用 4

一句话总结

本文提出一种用于哈密顿系统的仿射谱元方法，通过选择不同的离散Hodge-⋆算子来构造任意阶时间积分器。采用典范Hodge-⋆可得到辛积分器，而采用Galerkin Hodge-⋆则产生能量精确守恒的积分器，两者均在长时间模拟中保持关键几何不变量，且能量误差有界或为零。

ABSTRACT

There is a growing interest in the conservation of invariants when numerically solving a system of ordinary differential equations. Methods that exactly preserve these quantities in time are known as geometric integrators. In this paper we apply the recently developed mimetic framework to the solution of a system of first order ordinary differential equations. Depending on the discrete Hodge-* employed, two classes of arbitrary order time integrators are derived. It is shown that the one based on a canonical Hodge-* results in a symplectic integrator, whereas the one based on a Galerkin Hodge-* results in an energy preserving integrator. A set of numerical tests confirms these theoretical results.

研究动机与目标

• 开发用于哈密顿系统的高阶时间积分器，以保持几何不变量（如辛结构和能量）。
• 将基于微分几何与代数拓扑的仿射框架应用于常微分方程，确保在离散层面保持精确的拓扑关系。
• 探讨不同离散Hodge-⋆算子表示如何导致具有不同守恒性质的积分器。
• 证明Hodge-⋆的选择决定了积分器是否为辛或能量守恒，且截断误差最小。
• 通过谐振子和开普勒二体问题的数值测试验证理论结果。

提出的方法

• 该方法采用仿射框架，将拓扑结构（在离散层面精确）与依赖度量的算子（如Hodge-⋆）分离，从而实现灵活的离散化。
• 定义了两种不同的离散Hodge-⋆算子：一种为典范型（导出辛积分器），另一种为Galerkin型（导出能量守恒积分器）。
• 通过时间方向的谱元配点法推导时间积分器，利用高次多项式逼近实现任意阶精度。
• 将连续哈密顿系统离散化，使得通过所选Hodge-⋆表示，辛形式和能量均被保持。
• 投影算子将连续微分几何公式与离散代数拓扑公式联系起来，确保一致性。
• 该方法应用于相空间中的一阶常微分方程，通过辛矩阵J将系统重写为哈密顿形式。

实验结果

研究问题

• RQ1 仿射框架能否扩展至构造哈密顿系统的高阶时间积分器，以实现几何与物理不变量的精确守恒？
• RQ2 离散Hodge-⋆算子的选择是否决定了所得积分器为辛或能量守恒？
• RQ3 即使无法实现能量的精确守恒，仿射谱元方法是否也能在长时间积分中实现有界的能量误差？
• RQ4 仿射积分器的收敛速率与经典方法（如Runge-Kutta和Euler格式）相比如何？
• RQ5 仿射方法能否在PDE的时空统一公式中统一空间与时间的离散化？

主要发现

• 基于典范Hodge-⋆的仿射典范积分器产生辛积分器，能保持辛结构，并在长时间模拟中使能量误差有界。
• 基于Galerkin Hodge-⋆的仿射Galerkin积分器可将哈密顿量精确守恒至机器精度，即使对于非二次哈密顿量（如开普勒问题）亦然。
• 对谐振子的数值测试表明，仿射Galerkin积分器保持能量恒定，而显式Euler和Runge-Kutta方法则表现出能量误差增长。
• 在开普勒二体问题中，仿射Galerkin积分器在时间上表现出零哈密顿量误差，而仿射典范积分器虽未精确守恒能量，但保持了有界的能量误差。
• 仿射典范积分器在时间上达到四阶收敛，而Runge-Kutta方法表现出五阶收敛，证实了其高阶精度。
• 辛Euler方法同样能限制能量误差，但仿射Galerkin积分器通过实现能量的精确守恒表现更优。