[论文解读] Mimicking the marginal distributions of a semimartingale

Amel Bentata, Rama Cont|arXiv (Cornell University)|Oct 21, 2009

Stochastic processes and financial applications参考文献 20被引用 28

一句话总结

本文提出一种方法，通过使用局部特征——漂移、扩散和跳跃分量，构建一个马尔可夫过程，以模拟不连续半鞅的有限维分布。关键结果是推导出一个关于时间演化密度的偏积分微分方程，通过基于局部特征条件期望的马尔可夫投影，将柯尔莫哥洛夫前向方程推广至非马尔可夫设置。

ABSTRACT

We exhibit conditions under which the flow of marginal distributions of a discontinuous semimartingale $ξ$ can be matched by a Markov process, whose infinitesimal generator is expressed in terms of the local characteristics of $ξ$. Our construction applies to a large class of semimartingales, including smooth functions of a Markov process. We use this result to derive a partial integro-differential equation for the one-dimensional distributions of a semimartingale, extending the Kolmogorov forward equation to a non-Markovian setting.

研究动机与目标

• 将 Gy€¶ngy（1986）的模仿定理推广至具有跳跃的不连续半鞅。
• 利用半鞅的局部特征，构造一个与给定半鞅具有相同有限维分布的马尔可夫过程。
• 在非马尔可夫设置下，推导出边际密度时间演化的前向方程。
• 建立此类马尔可夫投影存在的条件，并确保保持局部鞅性质。
• 展示该方法在时间改变Lévy过程及马尔可夫过程函数中的适用性。

提出的方法

• 构造方法基于从半鞅局部特征导出的积分微分生成元的鞅问题公式。
• 通过原始过程的漂移、扩散和跳跃强度的条件期望，定义模仿过程的无穷小生成元。
• 模仿过程被定义为带有状态依赖系数的随机微分方程的弱解：漂移 = bα(t,x)，扩散 = σ√α(t,x)，Lévy测度 = α(t,x)ν(dy)。
• 解的存在性与唯一性依赖于条件期望 α(t,x) = E[θ_t | ξ_{t-} = x] 的连续性和有界性条件。
• 通过 L^*_t（即生成元的伴随算子）得到边际密度 p_t 的前向方程：∂p_t/∂t = L^*_t . p_t。
• 该方法适用于通过泊松随机测度表示的跳跃过程，以及具有状态依赖时间改变的时变Lévy过程。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构造一个马尔可夫过程，使其精确匹配不连续半鞅的边际分布？
• RQ2 在过程具有跳跃的情况下，半鞅的马尔可夫投影在何种条件下存在？
• RQ3 柯尔莫哥洛夫前向方程如何推广至具有跳跃的非马尔可夫过程？
• RQ4 该模仿构造是否保持原始过程的局部鞅性质？
• RQ5 在多大程度上，时变Lévy过程可被表示为具有状态依赖特征的仿射过程？

主要发现

• 在条件期望 α(t,x) = E[θ_t | ξ_{t-} = x] 的有界性和连续性条件下，存在一个马尔可夫过程 X，其在 [0,T] 上的有限维分布与原始半鞅 ξ 完全一致。
• 半鞅 ξ_t 的边际密度 p_t 满足一个前向偏积分微分方程：∂p_t/∂t = L^*_t . p_t，其中 L^*_t 是通过局部特征定义的生成元的伴随算子。
• 模仿过程 X 被构造为带有系数 bα(t,x)、σ√α(t,x) 和强度 α(t,x)ν(dy) 的随机微分方程的弱解，从而确保相同的边际分布。
• 该构造即使在原始过程 ξ 不是鞅时，也能保持其局部鞅性质。
• 该方法适用于一大类过程，包括马尔可夫过程的光滑函数以及时间改变的Lévy过程。
• 分析表明，由于状态依赖特征的共线性限制，时变Lévy过程在匹配边际分布方面可能不如仿射模型灵活。