[论文解读] Min-Cost Flow in Unit-Capacity Planar Graphs

Adam Karczmarz, Piotr Sankowski|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2019

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 36被引用 2

一句话总结

该论文提出了首个完全组合的算法，打破了单位容量平面图中最小费用最大流问题的 Ω(m³/²) 时间复杂度瓶颈，实现了 eO((nm)²/³ log C) 的时间复杂度。该算法结合基于缩放的连续最短路径方法、r-分块（r-divisions）以及高效的密集距离图计算，显著加速了平面图结构中的最短路径查询。

ABSTRACT

In this paper we give an $\widetilde{O}((nm)^{2/3}\log C)$ time algorithm for computing min-cost flow (or min-cost circulation) in unit capacity planar multigraphs where edge costs are integers bounded by $C$. For planar multigraphs, this improves upon the best known algorithms for general graphs: the $\widetilde{O}(m^{10/7}\log C)$ time algorithm of Cohen et al. [SODA 2017], the $O(m^{3/2}\log(nC))$ time algorithm of Gabow and Tarjan [SIAM J. Comput. 1989] and the $\widetilde{O}(\sqrt{n}m \log C)$ time algorithm of Lee and Sidford [FOCS 2014]. In particular, our result constitutes the first known fully combinatorial algorithm that breaks the $\widetilde{O}(m^{3/2})$ time barrier for min-cost flow problem in planar graphs. To obtain our result we first give a very simple successive shortest paths based scaling algorithm for unit-capacity min-cost flow problem that does not explicitly operate on dual variables. This algorithm also runs in $\widetilde{O}(m^{3/2}\log{C})$ time for general graphs, and, to the best of our knowledge, it has not been described before. We subsequently show how to implement this algorithm faster on planar graphs using well-established tools: $r$-divisions and efficient algorithms for computing (shortest) paths in so-called dense distance graphs.

研究动机与目标

• 开发一种针对单位容量平面多重图的最小费用最大流问题的更快速、完全组合的算法。
• 打破平面图中最小费用最大流问题长期存在的 Ω(m³/²) 时间复杂度瓶颈。
• 提供一种组合方法作为内点法的替代方案，避免内点法缺乏结构洞察的问题。
• 通过高级数据结构，将基于缩放的算法扩展至平面图的应用范围。
• 在先前的界（如 O(m³/² log C) 和 eO(m¹⁰/⁷ log C)）基础上实现进一步改进，适用于平面单位容量情形。

提出的方法

• 提出一种新颖的基于缩放的连续最短路径算法，用于单位容量最小费用最大流问题，避免显式处理对偶变量。
• 将 Goldberg 和 Tarjan 的缩放框架应用于平面图，利用 r-divisions 实现高效分解。
• 采用密集距离图（DDGs）预计算 r-分块中每个子块边界顶点之间的最短路径。
• 使用动态前驱/后继数据结构，在最短路径探索过程中维护未扫描边的信息。
• 设计一种动态数据结构，利用偏序关系和单调性性质，高效定位边界集合中下一个未扫描的边。
• 通过平衡 r-分块的大小与对数因子，优化总运行时间，设定参数 r = n²/³m¹/³ · (log n / (log m · log² log n))²/³。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否设计一种完全组合的平面图最小费用最大流算法，实现亚 m³/² 时间复杂度？
• RQ2 能否利用 r-divisions 等结构特性，加速平面图中连续最短路径方法的执行？
• RQ3 能否利用分层数据结构，在平面图中高效维护动态边扫描信息？
• RQ4 密集距离图与动态前驱结构在降低总运行时间方面起到了何种作用？
• RQ5 能否将缩放框架适配至平面图，以实现 (nm)²/³ 的时间依赖关系？

主要发现

• 该论文在单位容量平面多重图的最小费用循环问题上，实现了 eO((nm)²/³ log C) 的时间复杂度。
• 该结果优于此前针对一般图和平面图的最优已知界 O(m³/² log C) 和 eO(m¹⁰/⁷ log C)。
• 该算法是首个在平面最小费用最大流问题中打破 Ω(m³/²) 时间复杂度瓶颈的完全组合方法。
• r-divisions 与密集距离图的结合，使得在平面子图中高效计算最短路径成为可能。
• 用于前驱查询的动态数据结构将未处理边扫描的代价降低至每次操作 O(log log n)。
• 在最优参数调优下，最终时间复杂度为 O((nm)²/³ · log⁵/³ n · log¹/³ m / log⁴/³ log n · log(nC))。