[论文解读] Min-max theory for constant mean curvature hypersurfaces

Xin Zhou, Jonathan J. Zhu|arXiv (Cornell University)|Jul 25, 2017

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 52被引用 16

一句话总结

本文建立了一套极小-极大理论，用于在维度不超过七的闭黎曼流形中构造任意给定平均曲率 $c$ 的常平均曲率（CMC）超曲面。基于 $\mathcal{A}^c$-泛函的变分方法，作者证明了对任意 $c \in \mathbb{R}$，均存在非平凡、光滑、闭合、几乎处处嵌入的 CMC 超曲面，且当 $c \neq 0$ 时重数为一，从而解决了 Arnold-Novikov 猜想的高维类比问题。

ABSTRACT

In this paper, we develop a min-max theory for the construction of constant mean curvature (CMC) hypersurfaces of prescribed mean curvature in an arbitrary closed manifold. As a corollary, we prove the existence of a nontrivial, smooth, closed, almost embedded, CMC hypersurface of any given mean curvature $c$. Moreover, if $c$ is nonzero then our min-max solution always has multiplicity one.

研究动机与目标

• 开发一套极小-极大理论，用于在闭黎曼流形中构造具有指定平均曲率的常平均曲率（CMC）超曲面。
• 解决闭 CMC 超曲面在任意给定平均曲率 $c$ 下的存在性问题，该问题尽管已有大量前期工作，但长期悬而未决。
• 证明极小-极大构造在 $c \neq 0$ 时产生重数为一的解，与最小曲面情形（$c=0$）形成鲜明对比，后者中重数为一仍为一个猜想。
• 将极小-极大框架从最小超曲面推广至 CMC 设置，使用 $\mathcal{A}^c$-泛函作为变分泛函。

提出的方法

• 作者使用 $\mathcal{A}^c$-泛函，定义为 $\operatorname{Area} - c \operatorname{Vol}$，作为 CMC 超曲面的拉格朗日乘子泛函。
• 他们在连续的整流电流族上应用极小-极大过程，以避免因整个流形本身成为最小化器而导致的最小化失败。
• 该构造涉及通过向量场对初始扫掠进行连续形变，随后通过插值在整流电流空间中生成连续族。
• 一个关键技术步骤利用了 [60, 定理 5.1] 中的插值结果，生成一组质量与平坦范数受控的新电流族，确保收敛至临界点。
• 该方法依赖于平稳变种测度的良好替换性质，从而可通过局部替换论证实现正则性控制。
• 证明了极小-极大值的同伦不变性，并使用连续性论证表明极限变种测度是 $\mathcal{A}^c$-泛函的平稳整流变种测度。

实验结果

研究问题

• RQ1 在给定的闭黎曼流形中，对于哪些平均曲率 $c$ 值存在闭合、光滑、几乎处处嵌入的 CMC 超曲面？
• RQ2 尽管直接最小化失败，能否成功将极小-极大方法适配至 $\mathcal{A}^c$-泛函，以产生非平凡的 CMC 超曲面？
• RQ3 当 $c \neq 0$ 时，极小-极大构造是否产生重数为一的解？这与最小情形（$c=0$）有何不同？
• RQ4 能否使用变分方法在维度至多为七的情形下建立 CMC 超曲面的存在性，使其与最小超曲面的正则性理论一致？
• RQ5 该极小-极大框架是否完整解决了 Arnold-Novikov 猜想在高维情形下关于 $S^2$ 上具有给定测地曲率的闭曲线的存在性问题？

主要发现

• 对于任意闭黎曼流形 $M^{n+1}$ 满足 $3 \leq n+1 \leq 7$，以及任意 $c \in \mathbb{R}$，均存在一个非平凡、光滑、闭合、几乎处处嵌入的超曲面 $\Sigma^n$，其平均曲率为常数 $c$。
• 当 $c \neq 0$ 时，极小-极大解被保证具有重数为一，这一结果与最小情形形成鲜明对比，后者中重数为一仍为一个未解猜想。
• 通过 $\mathcal{A}^c$-泛函的极小-极大构造成功检测到非平凡临界点，克服了直接最小化总产生整个流形 $M$ 的失败。
• 该方法产生一个平稳整流变种测度，其在余维至少为 7 的奇点集之外光滑，与最小超曲面的正则性理论一致。
• 该构造对连续形变和插值具有鲁棒性，确保存在一组连续电流族，其极限产生所需的 CMC 超曲面。
• 该结果完整解决了 Arnold-Novikov 猜想在高维情形下关于具有给定测地曲率的闭曲线的存在性问题。