[论文解读] Minimal bi-ideals in regular and completely regular ordered semigroups

Kalyan Hansda|arXiv (Cornell University)|Jan 25, 2017

Fuzzy and Soft Set Theory参考文献 5被引用 4

一句话总结

本文通过其双理想（bi-ideals）的最小性，刻画了有序半群的正则性与完全正则性，证明了在完全正则有序半群中，每个双理想都是最小的，且一个正则有序半群是完全正则的当且仅当它是其最小双理想的并集。此外，本文还表明最小双理想是极小左理想与极小右理想的乘积，且为双单纯（bi-simple），从而在有序半群中建立了最小性与正则性之间的结构联系。

ABSTRACT

Here we characterize regular and completely regular ordered semigroups by their minimal bi-ideals. A minimal bi-ideal is expressed as a product of a minimal right ideal and a minimal left ideal. Furthermore, we show that every bi-ideal in a completely regular ordered semigroup is minimal and hence a regular ordered semigroup S is completely regular if and only if S is union its of minimal bi-ideals.

研究动机与目标

• 通过双理想的最小性来刻画正则与完全正则有序半群。
• 建立最小双理想与有序半群分解之间的结构联系。
• 证明在完全正则有序半群中，每个双理想都是最小且主理想，由有序幂等元生成。
• 证明一个正则有序半群是完全正则的当且仅当它是其最小双理想的并集。
• 阐明有序半群中最小性、双单纯性（bi-simplicity）与t-单纯性（t-simplicity）之间的关系。

提出的方法

• 使用有序半群中双理想的定义：满足 BSB ⊆ B 且 (B] = B 的子半群 B。
• 应用正则有序半群中 B(a) = (R(a)L(a)] 和 B(a) = (aSa] 的刻画。
• 运用格林关系（L, R, H, J）及 H-关系分析最小性与结构。
• 利用最小双理想为双单纯且 t-单纯的事实，且每个双单纯有序半群均为 t-单纯。
• 应用定理 2.4，该定理指出完全正则有序半群是 t-单纯子半群的并集。
• 利用存在有序幂等元 e ∈ E≤(S)，使得 B(a) = B(e)（对某个 e），来证明所有双理想均为主理想且最小。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过双理想的最小性来刻画正则与完全正则有序半群？
• RQ2 最小双理想、最小左/右理想与双单纯性在有序半群中的结构关系为何？
• RQ3 在何种条件下，有序半群中的每个双理想都是最小的？
• RQ4 从双理想结构的角度看，正则有序半群在何种条件下是完全正则的？
• RQ5 有序幂等元如何与完全正则有序半群中双理想的生成与最小性相关联？

主要发现

• 在完全正则有序半群中，每个双理想都是最小的，且每个最小双理想都是双单纯的。
• 一个正则有序半群 S 是完全正则的当且仅当 S 是其最小双理想的并集。
• 在有序半群中，每个最小双理想都是一个最小左理想与一个最小右理想的乘积。
• 在完全正则有序半群中，每个双理想都是主理想，且由一个有序幂等元生成。
• 双理想 B 是最小的当且仅当它是双单纯的，从而在最小性与双单纯性之间建立了直接等价关系。
• 当且仅当对每个 a ∈ S，有 B(a) = B(a²) 时，半群 S 是完全正则的，这意味着 a ≤ a² 或 a ∈ (a²Sa²] 或 a ≤ a⁴。