[论文解读] Minimal classes of graphs of unbounded clique-width defined by finitely many forbidden induced subgraphs

Aistis Atminas, Robert Brignall+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 5, 2015

Advanced Graph Theory Research被引用 4

一句话总结

本文識別出兩種新的圖形最小遺傳類——雙鏈圖與分割排列圖——其 clique-width 無界，卻由有限多個禁止的誘導子圖定義，從而推翻了 Daligault、Rao 與 Thomassé 於 2010 年提出的猜想。作者進一步證明，這兩個類別皆包含一個以兩種不可比較標籤構成的規範標籤無限反鏈，進而支持關於此類反鏈在最小無界 clique-width 類中普遍存在的加強猜想。

ABSTRACT

We discover new hereditary classes of graphs that are minimal (with respect to set inclusion) of unbounded clique-width. The new examples include split permutation graphs and bichain graphs. Each of these classes is characterised by a finite list of minimal forbidden induced subgraphs. These, therefore, disprove a conjecture due to Daligault, Rao and Thomasse from 2010 claiming that all such minimal classes must be defined by infinitely many forbidden induced subgraphs. In the same paper, Daligault, Rao and Thomasse make another conjecture that every hereditary class of unbounded clique-width must contain a labelled infinite antichain. We show that the two example classes we consider here satisfy this conjecture. Indeed, they each contain a canonical labelled infinite antichain, which leads us to propose a stronger conjecture: that every hereditary class of graphs that is minimal of unbounded clique-width contains a canonical labelled infinite antichain.

研究动机与目标

• 挑戰 Daligault、Rao 與 Thomassé（2010）提出的猜想，即所有最小遺傳圖形類別中無界 clique-width 者，必由無限多個禁止誘導子圖定義。
• 探討此類最小類別是否必然包含一個規範標籤無限反鏈，如該作者群所提出的第二個猜想所示。
• 確立雙鏈圖與分割排列圖為由有限多個禁止誘導子圖定義的最小遺傳圖形類別，且其 clique-width 無界。
• 展示這些類別包含一個僅使用兩種不可比較標籤的規範標籤無限反鏈，支持關於此類反鏈在結構上普遍存在的加強猜想。

提出的方法

• 透過有限多個最小禁止誘導子圖集特徵化雙鏈圖與分割排列圖，證明其為遺傳類，且在無界 clique-width 下為最小。
• 使用基於網格的構造方法，建立雙鏈圖的通用圖，顯示其在誘導子圖下封閉，並能形成無限反鏈。
• 透過證明其包含一序列圖形，其 clique-width 無界增長，從而證明雙鏈圖類別的 clique-width 無界。
• 定義一個使用兩種不可比較標籤的標籤無限反鏈 {T_k^∘}，其中序列中每個圖形皆在連續頂點對中嵌入特定模式（例如 P_4 或 2K_2）。
• 透過證明任何與該反鏈僅交集於有限多個圖形的遺傳子類皆為標籤良擬序，從而確立反鏈的規範性。
• 利用關於排列類與 Widdershins 反鏈的已知結果，支援分割排列圖中反鏈的規範性。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在最小遺傳圖形類別，其 clique-width 無界，且由有限多個禁止誘導子圖定義，從而反駁 Daligault、Rao 與 Thomassé（2010）的猜想？
• RQ2 此類最小類別是否必然包含一個規範標籤無限反鏈，如該作者群所提出的第二個猜想所示？
• RQ3 能否利用規範標籤無限反鏈的存在，來加強 clique-width 無界與良擬序之間關聯的猜想？
• RQ4 是否所有最小遺傳圖形類別中無界 clique-width 者，皆具有以兩種不可比較標籤構成的規範標籤無限反鏈？

主要发现

• 雙鏈圖類別為最小遺傳圖形類別，其 clique-width 無界，且由有限多個禁止誘導子圖定義。
• 分割排列圖類別亦為最小遺傳圖形類別，其 clique-width 無界，且由有限多個禁止誘導子圖定義。
• 這兩個類別皆包含一個僅使用兩種不可比較標籤的規範標籤無限反鏈，如序列 {T_k^∘} 所示。
• 這兩個類別中此類反鏈的存在，為加強猜想提供了強烈證據：每一個最小遺傳圖形類別中無界 clique-width 者，皆包含一個最多使用兩種不可比較標籤的規範標籤無限反鏈。
• 研究結果推翻了 2010 年的猜想，即所有最小無界 clique-width 圖形類別必由無限多個禁止誘導子圖定義。
• 研究結果顯示，規範標籤無限反鏈可能為最小無界 clique-width 類別的結構特徵，從而更深入地連結 clique-width 與良擬序。