[论文解读] Minimal cones and self-expanding solutions for mean curvature flows

Qi Ding|arXiv (Cornell University)|Mar 9, 2015

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 31被引用 3

一句话总结

该论文通过加权 $ L^2 $ 最小化和屏障技术，证明了在 $ \mathbb{R}^{n+1} $ 中一个 $ C^{3,\bar{\alpha}} $ 但非面积最小化的均曲率凸锥外部，存在唯一光滑、嵌入的自膨胀超曲面。关键结果通过构造具有正均曲率的此类自膨胀超曲面的叶状结构，证实了劳森对正规极小但非面积最小化锥的猜想。

ABSTRACT

In this paper, we study self-expanding solutions for mean curvature flows and their relationship to minimal cones in Euclidean space. In [18], Ilmanen proved the existence of self-expanding hypersurfaces with prescribed tangent cones at infinity. If the cone is $C^{3,α}$-regular and mean convex (but not area-minimizing), we can prove that the corresponding self-expanding hypersurfaces are smooth, embedded, and have positive mean curvature everywhere (see Theorem 1.1). As a result, for regular minimal but not area-minimizing cones we can give an affirmative answer to a problem arisen by Lawson [4].

研究动机与目标

• 解决劳森提出的关于在极小锥邻域内存在光滑、嵌入的正均曲率超曲面的问题。
• 建立在无穷远处具有预设 $ C^{3,\alpha} $ 均曲率凸但非面积最小化的切锥的 $ E $-极小化自膨胀超曲面的存在性。
• 证明此类自膨胀超曲面是光滑、嵌入的，并通过缩放形成区域的叶状结构。
• 表明当锥为面积最小化时唯一性不成立，但在给定正则性和凸性条件下，对非极小化锥唯一性仍成立。

提出的方法

• 构造旋转对称的图形自膨胀超曲面作为屏障，以控制解的渐近行为。
• 通过加权 $ L^2 $ 最小化泛函 $ \int_K e^{|X|^2/4} d\mu $ 来定义 $ E $-极小化当前。
• 应用阿勒尔正则性定理，在大球外部建立极限当前的 $ C^{3,\alpha} $ 正则性。
• 在均曲率方程 $ \frac{1}{2}\langle X, \nu \rangle = H $ 上使用最大值原理论证，证明均曲率的正性和非退化性。
• 通过屏障比较和投影技术，利用反证法排除多个解，分析缩放超曲面的交集行为。
• 分析雅可比场在无穷远处的渐近衰减估计，以控制自膨胀当前在锥附近的性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $ C^{3,\alpha} $ 均曲率凸但非面积最小化的锥外部，是否存在光滑、嵌入的正均曲率自膨胀超曲面？
• RQ2 此类自膨胀超曲面在缩放下是否形成区域的叶状结构，即 $ \sqrt{t}M $（$ t>0 $）？
• RQ3 在具有相同无穷远处切锥的所有 $ E $-极小化解中，自膨胀超曲面是否唯一？
• RQ4 如果锥是面积最小化的，情况如何？唯一性是否仍然成立？
• RQ5 在均曲率凸性和非极小化假设下，能否排除 $ E $-极小化当前的奇点？

主要发现

• 对于 $ \mathbb{R}^{n+1} $ 中任意 $ C^{3,\alpha} $ 均曲率凸但非面积最小化的锥 $ C $，在由 $ C $ 所围成的区域 $ \Omega $ 中，存在唯一光滑、完备、嵌入的 $ E $-极小化自膨胀超曲面 $ M $。
• 自膨胀超曲面 $ M $ 处处具有正均曲率，且在 $ \Omega $ 中正确定向嵌入。
• 缩放族 $ \mathcal{M}: t \mapsto \sqrt{t}M $ 沿均曲率流形成 $ \Omega $ 的光滑叶状结构。
• 锥非面积最小化的假设至关重要：若 $ C $ 是面积最小化的，则任何收敛于 $ C $ 的光滑自膨胀超曲面必为 $ C $ 本身。
• 在无非极小化条件时，唯一性通常不成立，如伊利曼南及其他人的例子所示。
• 证明依赖于屏障构造、均曲率方程上的最大值原理论证，以及雅可比场在无穷远处的渐近衰减估计。