[论文解读] Minimal Connectivity

Matthias Kriesell|arXiv (Cornell University)|Jan 12, 2011

Interconnection Networks and Systems参考文献 62被引用 4

一句话总结

本文研究极小且临界k-连通图，聚焦于通过边删除、顶点删除和边收缩等缩减操作，构造性地刻画k-连通图。研究证明，当k ≥ 4时，收缩临界k-连通图可通过边收缩实现缩减，并利用边不相交的树分解与线图的结构性质，证实了洛瓦兹关于高连通性线图的猜想。

ABSTRACT

A k-connected graph such that deleting any edge / deleting any vertex / contracting any edge results in a graph which is not k-connected is called minimally / critically / contraction-critically k-connected. These three classes play a prominent role in graph connectivity theory, and we give a brief introduction with a light emphasis on reduction- and construction theorems for classes of k-connected graphs.

研究动机与目标

• 开发基于边删除、顶点删除和边收缩等基本操作的k-连通图缩减方法。
• 理解可缩减元素（如可收缩或可删除的边）在k-连通图中的分布与结构特性。
• 研究更高连通性图（k ≥ 5）是否可通过收缩有界数量的边实现缩减，以解决连通性理论中的一个关键猜想。
• 通过分析来自边连通基图的线图中的连通性，验证洛瓦兹关于高连通性线图的猜想。
• 确定3-连通临界k-连通线图的存在性与性质，从而解决斯莱特的猜想。

提出的方法

• 以边删除与边收缩为主要缩减操作，分析极小、临界与收缩临界k-连通图。
• 应用线图概念，将基图G中的边连通性问题转化为L(G)中的点连通性问题。
• 利用奥库马鲁定理处理边连通图中的可移除路径，以构造覆盖高阶顶点的边不相交树。
• 在线图中采用团分解：对于G中的每个顶点x，其关联边在L(G)中形成一个团K_x，基于边不相交树定义子团K_x^j。
• 在L(G)中构造一个生成子图H^1，使得L(G) − E(H^1)在任意两顶点间包含k条开放不相交路径，从而保证k-连通性。
• 利用如下事实：若L(G)的最小度 ≥ 12k+11，则G中度数 ≥ 6k+6的顶点集合A是(6k+6)-连通的，且G−A无边，从而实现树分解。

实验结果

研究问题

• RQ1 每个5-连通图是否都能通过至多h条边的收缩缩减为更小的5-连通图，其中h为某个固定常数？
• RQ2 每个(12k+11)-连通线图是否都存在一个生成树T，使得G−E(T)仍为k-连通？
• RQ3 是否存在3-连通临界k-连通线图？这对斯莱特猜想有何含义？
• RQ4 在k=4时，收缩临界k-连通图的结构在多大程度上可通过立方图的线图来刻画？
• RQ5 边不相交的树分解在边移除后如何保持线图的连通性？

主要发现

• 当k ≥ 4时，收缩临界k-连通图具有丰富的结构，可通过收缩两条边得到更小的k-连通图，提示为k=5构建缩减框架的可能。
• 支持猜想1.3：每个至少含有b个顶点的5-连通图可通过至多h条边的收缩实现缩减，其中b与h与图的大小无关。
• 本文证明：每个(12k+11)-连通线图均存在一个生成树T，使得G−E(T)为k-连通，从而证实了线图情形下的猜想7.8。
• 若L(G)为(6k+6)-连通且最小度 ≥ 12k+11，则G中存在一个顶点集合A，其度数 ≥ 6k+6，A为(6k+6)-连通，且G−A无边。
• 在G中存在2k+2个边不相交的树覆盖A，从而可构造k+1个边不相交的子图T_1,…,T_{k+1}，使得每个T_j均覆盖A，且在每个T_j中最小度 ≥2。
• 本文确认不存在3-连通临界k-连通线图，从而以否定方式解决了斯莱特猜想在该类图中的情形。