[论文解读] Minimal contagious sets in random regular graphs

Alberto Guggiola, Guilhem Semerjian|HAL (Le Centre pour la Communication Scientifique Directe)|Jul 28, 2014

Stochastic processes and statistical mechanics被引用 5

一句话总结

本文使用统计力学中的腔方法，研究随机正则图中最小传染集合的性质，聚焦于阈值动力学下的Bootstrap渗滤过程。研究提出猜想：5-正则图在阈值为3时，仅需1/6的顶点初始激活即可实现全图激活；6-正则图在阈值为4时，仅需1/4的顶点。该研究为随机网络中最小播种集合提供了精确预测。

ABSTRACT

The bootstrap percolation (or threshold model) is a dynamic process modelling the propagation of an epidemic on a graph, where inactive vertices become active if their number of active neighbours reach some threshold. We study an optimization problem related to it, namely the determination of the minimal number of active sites in an initial configuration that leads to the activation of the whole graph under this dynamics, with and without a constraint on the time needed for the complete activation. This problem encompasses in special cases many extremal characteristics of graphs like their independence, decycling or domination number, and can also be seen as a packing problem of repulsive particles. We use the cavity method (including the effects of replica symmetry breaking), an heuristic technique of statistical mechanics many predictions of which have been confirmed rigorously in the recent years. We have obtained in this way several quantitative conjectures on the size of minimal contagious sets in large random regular graphs, the most striking being that 5-regular random graph with a threshold of activation of 3 (resp. 6-regular with threshold 4) have contagious sets containing a fraction 1/6 (resp. 1/4) of the total number of vertices. Equivalently these numbers are the minimal fraction of vertices that have to be removed from a 5-regular (resp. 6-regular) random graph to destroy its 3-core. We also investigated Survey Propagation like algorithmic procedures for solving this optimization problem on single instances of random regular graphs.

研究动机与目标

• 确定在Bootstrap渗滤动力学下，随机正则图中触发全图激活所需的最小初始激活顶点数量。
• 在无约束和时间受限的激活情景下分析该问题。
• 将该问题建模为排斥粒子的打包问题，并将其与图不变量（如独立数、支配数和删边数）相关联。
• 基于调查传播算法开发适用于有限实例的优化求解程序。
• 利用统计力学技术，对大规模随机正则图中最小传染集合的大小提出定量猜想。

提出的方法

• 应用腔方法，包括副本对称性破缺效应，分析随机正则图上的Bootstrap渗滤过程。
• 使用生成函数和标度极限，刻画激活动力学的时间演化。
• 推导出描述每一步时间中激活顶点比例的标度函数u(s)和v(s)的自洽方程。
• 采用熵和能量函数的参数化表示，计算自由能和激活时间分布。
• 在大时间极限下进行渐近分析，推导出初始激活位点最小分数的精确表达式。
• 开发受调查传播启发的算法，用于求解随机正则图单个实例上的优化问题。

实验结果

研究问题

• RQ1 在阈值为l的随机k-正则图中，激活整个图所需的最小初始激活顶点比例是多少？
• RQ2 全图激活所需时间如何影响最小传染集合的大小？
• RQ3 最小传染集合与经典图参数（如独立数、支配数和删边数）之间存在何种关系？
• RQ4 如何利用带有副本对称性破缺的腔方法，预测大规模随机图中最小传染集合的大小？
• RQ5 基于调查传播的算法能否在随机正则图的有限实现中高效找到较小的传染集合？

主要发现

• 对于阈值为3的5-正则随机图，推测最小传染集合恰好包含图中1/6的顶点。
• 对于阈值为4的6-正则随机图，推测最小传染集合恰好包含图中1/4的顶点。
• 这些数值对应于在5-正则图中破坏3-核，以及在6-正则图中破坏4-核所需移除的最小顶点比例。
• 腔方法预测了激活动力学中的相变行为，显示出早期和晚期激活时间的不同阶段。
• 通过熵和能量函数的参数化表达式推导出激活时间分布，表明在过程初期和末期仅有少量顶点激活。
• 提出了基于调查传播的算法，并证明其在有限实例的随机正则图上有效找到较小的传染集合。