[论文解读] Minimal controllability time for systems with nonlinear drift under a compact convex state constraint

Viktor Bezborodov, Luca Di Persio+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 23, 2020

Stability and Control of Uncertain Systems参考文献 14被引用 4

一句话总结

本文为具有线性控制和有界凸状态约束的非线性控制系统的最小可控制时间提供了显式表达式和下界。通过将系统投影到控制矩阵像空间的正交补空间上，问题被简化为低维系统，从而在控制矩阵像空间余维为一的情况下实现精确计算，并通过比较原理和微分不等式推导出一般性下界。

ABSTRACT

In this paper we estimate the minimal controllability time for a class of non-linear control systems with a bounded convex state constraint. An explicit expression is given for the controllability time if the image of the control matrix is of co-dimension one. A lower bound for the controllability time is given in the general case. The technique is based on finding a lower dimension system with the similar controllability properties as the original system. The controls corresponding to the minimal time, or time close to the minimal one, are discussed and computed analytically. The effectiveness of the proposed approach is illustrated by a few examples.

研究动机与目标

• 估算具有有界凸状态约束的非线性控制系统从一个内点到另一个内点所需的最短时间。
• 将先前关于状态约束下可控制性的研究扩展至具有非线性漂移项和高维状态空间的系统。
• 提出一种通过低维辅助系统计算或界定最小可控制时间的方法。
• 建立可精确确定原系统可控制时间或获得紧致下界的条件。

提出的方法

• 将原始n维系统投影到控制矩阵像空间的正交补空间上，将问题简化为低维系统。
• 利用正交分解在状态空间中分离‘快速’（受控影响）和‘缓慢’（未受控）方向。
• 应用微分不等式比较定理，推导出穿越给定距离所需时间的下界。
• 基于控制矩阵的像及其余维，通过变换推导出余维为一情况下的精确表达式。
• 利用Goh变换和等价系统形式，将原系统的可控制性与投影后系统的可控制性关联起来。
• 通过在投影状态轨迹上积分推导出的函数，获得最小时间的显式公式。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于具有有界凸状态约束的非线性控制系统，从初始状态到约束集内部的终态，所需的最短时间是多少？
• RQ2 在何种条件下可以精确计算最小可控制时间，而在何种条件下仅能推导出下界？
• RQ3 原系统的可控制时间与低维投影系统的时间有何关系？
• RQ4 控制矩阵像空间的余维在确定最小可控制时间中起什么作用？
• RQ5 当控制矩阵像空间余维为一时，最小时间能否以闭式表达？

主要发现

• 当控制矩阵像空间余维为一的系统中，最小可控制时间由显式积分表达式给出：TC(y0, y1) = 1/(2√2) ∫_{κ∈[−0.4,0.6]} dκ / (1 + 2 min(0, κ)) = 1/(2√2)(0.6 + ln 5)。
• 在一般情况下，通过微分不等式比较原理推导出最小可控制时间的下界，确保 T ≥ ∫₀ᴹ dv/g(v) 对于给定距离 M。
• 该方法成功计算出具有吸引向某一点的漂移场的非线性系统的最小时间，当 y0 = (−4,−1)⊤ 且 y1 = (4,−2)⊤ 时，TC(y0, y1) ≈ 843.82。
• 该方法表明，并非约束集内的所有点都能从给定初始点到达；例如，由于推导函数中出现负值，y2 = (−0.6,0.6)⊤ 无法从 y0 到达。
• 结果表明，最小可控制时间对约束集的几何形状和控制矩阵的结构极为敏感，仅在特定余维条件下可获得精确表达式。
• 本文建立：原系统的最小时间被投影后低维系统的最小时间下界所限制，且在一般条件下等号成立。