[论文解读] Minimal degree H(curl) and H(div) conforming finite elements on polytopal meshes

Wenbin Chen, Yanqiu Wang|arXiv (Cornell University)|Feb 5, 2015

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 22被引用 10

一句话总结

本文使用广义重心坐标和威特尼形式，在凸多面体网格上构建了最小次数的 $H(\mathrm{curl})$ 与 $H(\mathrm{div})$ 克莱姆有限元，使自由度数量达到最小，等于边数或面数。该方法确保了离散的德拉姆序列，并在单形、平行四边形及其他标准多面体上重现了经典有限元。

ABSTRACT

We construct H(curl) and H(div) conforming finite elements on convex polygons and polyhedra with minimal possible degrees of freedom, i.e., the number of degrees of freedom is equal to the number of edges or faces of the polygon/polyhedron. The construction is based on generalized barycentric coordinates and the Whitney forms. In 3D, it currently requires the faces of the polyhedron be either triangles or parallelograms. Formula for computing basis functions are given. The finite elements satisfy discrete de Rham sequences in analogy to the well-known ones on simplices. Moreover, they reproduce existing H(curl)-H(div) elements on simplices, parallelograms, parallelepipeds, pyramids and triangular prisms. Approximation property of the constructed elements is also analyzed, by showing that the lowest-order simplicial Nedelec- Raviart-Thomas elements are subsets of the constructed elements on arbitrary polygons and certain polyhedra.

研究动机与目标

• 在一般凸多面体上构造具有最小自由度数量的 $H(\mathrm{curl})$ 与 $H(\mathrm{div})$ 克莱姆有限元。
• 通过广义重心坐标，将有限元外微分形式框架扩展至非单形多面体网格。
• 确保所构造的有限元满足离散德拉姆复形，保持经典有限元的关键性质。
• 将现有在单形、平行四边形与棱柱上的 $H(\mathrm{curl})$ 与 $H(\mathrm{div})$ 有限元推广至任意凸多边形与多面体。
• 提供基函数的显式公式，并分析所构造元素的逼近性质。

提出的方法

• 在多面体上使用广义重心坐标定义 $H(\mathrm{curl})$ 与 $H(\mathrm{div})$ 空间基函数。
• 通过广义重心坐标扩展威特尼形式，以定义向量值有限元基函数。
• 该方法确保自由度数量等于边数（对于 $H(\mathrm{curl})$）或面数（对于 $H(\mathrm{div})$），实现最小化。
• 通过确保所构造有限元空间之间的相容性，保持离散德拉姆序列。
• 基函数通过求解涉及顶点-边与面-边关联矩阵的线性系统获得。
• 该方法限制于仅具有三角形或平行四边形面的三维多面体，以保证一致性和可解性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在任意凸多面体网格上构造具有最小自由度数量的 $H(\mathrm{curl})$ 与 $H(\mathrm{div})$ 克莱姆有限元？
• RQ2 广义重心坐标如何用于将威特尼形式扩展至非单形多面体？
• RQ3 所得到的有限元空间是否在一般多面体网格上保持离散德拉姆复形结构？
• RQ4 所提出的有限元能否在单形、平行四边形与棱柱上重现经典 $H(\mathrm{curl})$ 与 $H(\mathrm{div})$ 有限元？
• RQ5 所构造的最小次数有限元在任意多边形及特定多面体上的逼近性质如何？

主要发现

• 所构造的 $H(\mathrm{curl})$ 与 $H(\mathrm{div})$ 有限元实现了最小自由度数量，等于多面体的边数或面数。
• 该方法确保了离散德拉姆复形被保持，类似于单形上的经典序列。
• 最低阶的单形尼德莱克与雷维亚特-托马斯有限元是任意多边形及某些多面体上所构造有限元的子集。
• 基函数可通过求解涉及顶点、边与面之间关联矩阵的线性系统显式计算。
• 该构造适用于仅由三角形或平行四边形面构成的三维多面体，确保系数恢复系统的可解性。
• 该方法推广了现有在单形、平行四边形、长方体、棱锥与三角柱上的 $H(\mathrm{curl})$ 与 $H(\mathrm{div})$ 有限元。