[论文解读] Minimal digit sets for parallel addition in non-standard numeration systems

Christiane Frougny, Edita Pelantová+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 26, 2016

semigroups and automata theory参考文献 25被引用 13

一句话总结

本文建立了在具有复数或代数基的非标准记数系统中，实现常数时间并行加法所需的最小数字集合大小的紧致下界。证明了对于负整数、高斯整数（例如 $-1+i$）和有理基等基，最小字母表大小恰好为 $|f(1)|$ 或有理数 $\beta = -a/b$ 的 $a+b$，并构造了达到该边界的显式算法，通过代数数论和数字集合转换技术证明了其最小性。

ABSTRACT

We study parallel algorithms for addition of numbers having finite representation in a positional numeration system defined by a base $β$ in $\mathbb{C}$ and a finite digit set $\mathcal{A}$ of contiguous integers containing $0$. For a fixed base $β$, we focus on the question of the size of the alphabet allowing to perform addition in constant time independently of the length of representation of the summands. We produce lower bounds on the size of such alphabet $\mathcal{A}$. For several types of well studied bases (negative integer, complex numbers $ -1 + \imath$, $2 \imath$, and $\imath \sqrt{2}$, quadratic Pisot unit, and the non-integer rational base), we give explicit parallel algorithms performing addition in constant time. Moreover we show that digit sets used by these algorithms are the smallest possible.

研究动机与目标

• 确定在非标准记数系统中，对于具有复数或代数基的系统，实现常数时间并行加法所需的最小数字集合大小。
• 证明对于多种著名基（例如 $-1+i$、$2i$、$eta = -a/b$），推导出的字母表大小下界是紧致且可实现的。
• 开发使用最小数字集合的显式并行加法算法，确保无进位传播且无论输入长度如何均实现常数时间操作。
• 通过代数数论和数字集合转换原理，对先前的并行加法结果进行细化，进一步改进下界。
• 证明对于有理基 $eta = -a/b$，最小字母表大小为 $a + b$，且该边界不可改进。

提出的方法

• 基于基 $eta$ 的最小多项式，推导出并行加法中最小字母表大小的一般下界，使用代数整数的 $|f(1)|$ 值。
• 应用 $p$-局部函数和数字集合转换理论，将并行加法问题转化为更小规模的转换任务。
• 使用代数数论分析共轭和范数，特别是在 $eta$ 为有理数或复数基的情况下。
• 为特定基（如 $-1+i$、$2i$、$eta = -a/b$ 和二次单位根）构造显式并行加法算法，验证其在最小数字集合下实现常数时间操作。
• 基于 $(x - y)$ 被 $a + b$ 整除的可除性矛盾论证，证明有理负基下字母表大小的最小性。
• 通过 $p$-局部函数和块变换，将给定字母表上的并行加法问题转化为更小字母表上的等价问题。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于给定的代数基 $eta$，包含 0 的连续整数数字集合的最小大小是多少，才能实现在常数时间内的并行加法？
• RQ2 对于哪些基类（例如负整数、复数基如 $-1+i$、有理基 $eta = -a/b$）可以达到字母表大小的下界？
• RQ3 能否使用基的最小多项式性质，从代数角度刻画并行加法的最小数字集合？
• RQ4 基 $eta$ 的结构（例如实数、复数、有理数）如何影响实现常数时间加法所需的最小字母表大小？
• RQ5 是否可以将一个数字集合上的并行加法算法转换为其他同尺寸数字集合上的等价算法，同时保持常数时间性能？

主要发现

• 对于具有最小多项式 $f(X)$ 的实代数整数 $eta$，并行加法的最小字母表大小为 $|f(1)|$，且该边界是紧致的。
• 对于基 $eta = -1 + i$，最小字母表大小为 5，且任何包含 0 的大小为 5 的连续整数数字集合均可实现该边界。
• 对于基 $eta = 2i$，最小字母表大小为 5，数字集合 $inom{0,inots,3}$ 可实现该边界。
• 对于基 $eta = i heta$，其中 $ heta = heta^2 = 2$，最小字母表大小为 3，$inom{0,1}$ 已足够。
• 对于有理基 $eta = -a/b$，其中 $a > b \to 1$ 且 $ ext{gcd}(a,b) = 1$，最小字母表大小为 $a + b$，且该边界不可改进。
• 对于满足 $eta^2 = aeta + 1$ 的二次基，最小字母表大小为 $a + 2$，且该边界可通过任意大小为该值的连续数字集合实现。