[论文解读] Minimal forbidden induced subgraphs of graphs of bounded clique-width and bounded linear clique-width

Daniel Meister, Udi Rotics|arXiv (Cornell University)|Jun 10, 2013

Advanced Graph Theory Research参考文献 1被引用 3

一句话总结

本文通过分析基于路径幂的构造及其子图，识别出有界 clique-width 和有界线性 clique-width 图的最小禁止诱导子图。证明了图 $ Z_k $ 和 $ S_k^+ $ 在 clique-width $ k+2 $ 下是极小的，且其真诱导子图的线性 clique-width 严格更小，从而为有界 clique-width 类建立了完整且极小的禁止子图集合。

ABSTRACT

In the study of full bubble model graphs of bounded clique-width and bounded linear clique-width, we determined complete sets of forbidden induced subgraphs, that are minimal in the class of full bubble model graphs. In this note, we show that (almost all of) these graphs are minimal in the class of all graphs. As a corollary, we can give sets of minimal forbidden induced subgraphs for graphs of bounded clique-width and for graphs of bounded linear clique-width for arbitrary bounds.

研究动机与目标

• 确定有界 clique-width 和有界线性 clique-width 图的完整且极小的禁止诱导子图集合。
• 证明某些基于路径幂的图（如 $ Z_k $ 和 $ S_k^+ $）在其 clique-width 和线性 clique-width 类中是极小的。
• 证明 $ Z_k $ 的所有真诱导子图的线性 clique-width 至多为 $ k+1 $，从而确立 $ Z_k $ 在 clique-width $ k+2 $ 下的极小性。
• 通过将图嵌入到 $ J_k - z_g $ 等更大图中，使用嵌入技术将表征扩展到任意 clique-width 和线性 clique-width 的上界。

提出的方法

• 将图 $ Z_k $ 构造为在 $ k(k+1)+2 $ 个顶点上的 $ k $-路径幂，通过特定的顶点排序实现高 clique-width。
• 使用嵌入论证：证明 $ Z_k $ 的每个真诱导子图同构于 $ J_k - z_g $ 的诱导子图，而 $ J_k - z_g $ 的线性 clique-width 至多为 $ k+1 $。
• 应用先前关于开 $ k $-模型和短端 $ k $-模型的研究成果，构造使用非活跃标签的线性 clique-width 表达式。
• 通过基于删除顶点位置的顶点集划分，对 $ F_k $（即 $ S_k^+ $ 的核心结构）的子图使用顶点重标记和递归构造线性 $ (k+1) $-表达式。
• 根据被删除顶点 $ x $ 的位置区分情况，使用气泡模型嵌入中的深矩形和浅矩形以确保线性 clique-width 表达式的有效性。
• 使用自同构和对称性论证减少需考虑的情况数量，重点聚焦于 $ x $ 位于顶点排序前半部分的情形。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于任意 $ k \geq 0 $，禁止图具有至多 clique-width $ k $ 的最小诱导子图是什么？
• RQ2 如何证明一个图在给定 clique-width 上限下是极小的？
• RQ3 有界 clique-width 的禁止子图表征能否扩展到有界线性 clique-width？
• RQ4 基于路径幂的图的哪些结构特性使其能作为有界 clique-width 的极小障碍？
• RQ5 将图嵌入到 $ J_k - z_g $ 等更大图中的嵌入技术如何帮助证明子图的线性 clique-width 上界？

主要发现

• 图 $ Z_k $ 的 clique-width 恰好为 $ k+2 $，且其所有真诱导子图的线性 clique-width 至多为 $ k+1 $，从而证明其在 clique-width $ k+2 $ 下的极小性。
• 对于 $ k \geq 3 $，$ Z_k $ 的每个真诱导子图同构于 $ J_k - z_g $ 的诱导子图，而 $ J_k - z_g $ 的线性 clique-width 至多为 $ k+1 $。
• 图 $ S_k^+ $（由附加顶点的 $ k $-路径幂构造而成）在线性 clique-width $ k+2 $ 下是极小的，因为其所有真诱导子图的线性 clique-width 至多为 $ k+1 $。
• 通过使用深矩形和浅矩形嵌入，无论被删除顶点的位置如何，均可对 $ F_k $（即 $ S_k^+ $ 的核心）的子图构造线性 $ (k+1) $-表达式。
• 对于 $ k=2 $，$ Z_2 $ 是一个 8 个顶点的路径；其子图的线性 clique-width 至多为 3，且可显式构造出 $ Z_2 - v_4 $ 的线性 3-表达式。
• 结果表明，对于任意 $ k \geq 0 $，有界 clique-width 和有界线性 clique-width 图的完整且极小的禁止诱导子图集合是存在的。