[论文解读] Minimal group determinants and the Lind-Lehmer problem for dihedral groups

Ton Boerkoel, Christopher Pinner|arXiv (Cornell University)|Feb 20, 2018

graph theory and CDMA systems参考文献 13被引用 4

一句话总结

本文通过计算整数变量上的最小非平凡群行列式，解决了二面体群的Lind-Lehmer问题，证明当 $ n $ 不被一个大的primorial整除时，对于二面体群 $ D_{2n} $，最小行列式为 $ \boxed{2} $，并利用Mahler测度和结式理论，完全刻画了 $ D_{2p} $ 和 $ D_{4p} $ 的可能行列式值。

ABSTRACT

We find the minimal non-trivial integer variable group determinant for any dihedral group of order less than $3.79 imes 10^{47}$. We think of this as the Lind-Lehmer problem for the dihedral group. We give a complete description of the determinants for some dihedral groups including $D_{2p}$ and $D_{4p}$.

研究动机与目标

• 确定二面体群 $ G = D_{2n} $ 的最小非平凡整数群行列式 $ \lambda(G) $，将Lind-Lehmer问题从循环群推广至二面体群。
• 刻画 $ D_{2p} $ 和 $ D_{4p} $ 的所有可能群行列式值，其中 $ p $ 为奇素数。
• 证明当 $ n $ 不被一个大的primorial乘积整除时，有 $ \lambda(D_{2n}) = 2 $，表明最小非平凡行列式为 2。
• 利用Mahler测度和结式理论分析群行列式作为单位根多项式乘积的结构，将其与分圆多项式的数论性质联系起来。
• 解析群行列式映射在 $ \mathbb{Z} $ 上的像的结构，表明偶数行列式受到特定 $ 2 $-进和 $ p $-进赋值的限制。

提出的方法

• 群行列式 $ \mathscr{D}_G(x_g) $ 通过不可约表示表示为 $ \mathscr{D}_G = \prod_{\rho \in \hat{G}} \det\left( \sum_g x_g \rho(g) \right)^{\deg \rho} $，从而实现代数分析。
• 对于 $ D_{2n} $，利用特征标和分圆多项式（特别是 $ \Phi_n(x) $）计算行列式，进而计算Mahler测度 $ m_G(F) = \frac{1}{|G|} \log |M_G(F)| $，其中 $ M_G(F) = \mathscr{D}_G(a_g) $。
• 使用结式计算在单位根上的行列式绝对值：$ \operatorname{Res}(H(x), \Phi_n(x)) $，特别针对 $ H(x) = f(x)f(x^{-1}) - g(x)g(x^{-1}) $，以控制 $ p $-进和 $ 2 $-进赋值。
• 对于 $ D_{2p} $，作者构造显式的洛朗多项式 $ F(x,y) = f(x) + y g(x) $，使得 $ M_G(F) $ 取遍所有形如 $ 2^a p^b m $ 的值，其中 $ a = 0 $ 或 $ a \geq 2 $，$ b = 0 $ 或 $ b \geq 2k+1 $，且 $ (m, 2p) = 1 $。
• 对于 $ D_{2^k} $，方法利用对称多项式和几何级数恒等式控制 $ 2 $-进赋值，证明 $ \mathscr{E} \subseteq 2^{2k+2}\mathbb{Z} $ 且 $ 2^{3k}\mathbb{Z} \subseteq \mathscr{E} $，并通过显式构造实现所有此类值。
• 论文使用恒等式 $ \mathscr{D}_G(a_g) = \prod_{x \in G} \left| \sum_{u \in G} a_u \chi_x(u) \right| $ 将行列式简化为特征标上的乘积，将其与有限交换群上的Mahler测度联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于二面体群 $ D_{2n} $，在整数变量下，群行列式 $ \mathscr{D}_G(x_g) $ 的最小非平凡值是多少？何时其值等于 2？
• RQ2 对于哪些二面体群 $ D_{2p} $ 和 $ D_{4p} $，可以完全描述其所有可能的群行列式值？
• RQ3 $ D_{2n} $ 的群行列式在 $ 2 $-进和 $ p $-进赋值下的行为如何？这些赋值对行列式映射的像施加了何种限制？
• RQ4 对于 $ D_{2^k} $，是否可以完全根据其 $ 2 $-进赋值刻画群行列式？其可能值的精确范围是什么？
• RQ5 洛朗多项式的结式在计算二面体群的Mahler测度及群行列式中起到何种作用？

主要发现

• 对于满足 $ n $ 不被 $ 2^2 \cdot 3^2 \cdot \prod_{5 \leq p \leq 113} p \approx 1.89 \times 10^{47} $ 整除的二面体群 $ D_{2n} $，最小非平凡群行列式为 $ \lambda(D_{2n}) = 2 $，证实了该类群的Lind-Lehmer猜想。
• 对于 $ D_{2p} $，群行列式可取所有形如 $ 2^a p^b m $ 的整数值，其中 $ a = 0 $ 或 $ a \geq 2 $，$ b = 0 $ 或 $ b \geq 2k+1 $，且 $ (m, 2p) = 1 $，且所有此类值均可实现。
• 对于 $ D_{4p} $，群行列式可取所有形如 $ 2^a p^b m $ 的值，其中 $ a = 0 $ 或 $ a \geq 2 $，$ b = 0 $ 或 $ b \geq 3k $，且 $ (m, 2p) = 1 $，并提供了显式构造。
• 对于 $ D_{2^k} $ 且 $ k \geq 3 $，群行列式映射在 $ \mathbb{Z} $ 上的像满足 $ 2^{3k}\mathbb{Z} \subseteq \mathscr{E} \subseteq 2^{2k+2}\mathbb{Z} $，且所有此类值均可通过多项式构造实现。
• 对于 $ D_8 $，偶数行列式满足 $ 2^9\mathbb{Z} \subseteq \mathscr{E} \subseteq 2^8\mathbb{Z} $，且缺失的 $ 2^8 $-倍数可通过 $ M_G(F) = \pm 2^8(4k+1) $ 实现，且给出了显式多项式。
• 对于 $ D_{16} $，偶数行列式满足 $ 2^{12}\mathbb{Z} \subseteq \mathscr{E} \subseteq 2^{10}\mathbb{Z} $，且该范围内的所有值均可通过如 $ M_G((1+x^2)(1+x^4) - (1-x)) = 2^{10} $ 的构造实现。