[论文解读] Minimal hypersurfaces and boundary behavior of compact manifolds with nonnegative scalar curvature

Siyuan Lu, Pengzi Miao|arXiv (Cornell University)|Mar 23, 2017

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 32被引用 13

一句话总结

本文建立了一项精确不等式，关联了具有非负标量曲率的紧致黎曼流形中，空间史瓦西流形的质量、内极小超曲面的面积，以及外边界分量的加权总平均曲率。通过将极小超曲面与史瓦西空间中的等距嵌入相结合，作者推导出一个准局部质量不等式，该不等式蕴含黎曼佩尼罗不等式，并在渐近极限下恢复ADM质量，将经典Shi-Tam定理扩展至包含黑洞视界效应的情形。

ABSTRACT

On a compact Riemannian manifold with boundary having positive mean curvature, a fundamental result of Shi and Tam states that, if the manifold has nonnegative scalar curvature and if the boundary is isometric to a strictly convex hypersurface in the Euclidean space, then the total mean curvature of the boundary is no greater than the total mean curvature of the corresponding Euclidean hypersurface. In $3$-dimension, Shi-Tam's result is known to be equivalent to the Riemannian positive mass theorem. In this paper, we provide a supplement to Shi-Tam's result by including the effect of minimal hypersurfaces on the boundary. More precisely, given a compact manifold $Ω$ with nonnegative scalar curvature, assuming its boundary consists of two parts, $Σ_h$ and $Σ_o$, where $Σ_h$ is the union of all closed minimal hypersurfaces in $Ω$ and $Σ_o$ is isometric to a suitable $2$-convex hypersurface $Σ$ in a spatial Schwarzschild manifold of positive mass $m$, we establish an inequality relating $m$, the area of $Σ_h$, and two weighted total mean curvatures of $Σ_o$ and $ Σ$. In $3$-dimension, the inequality has implications to both isometric embedding and quasi-local mass problems. In a relativistic context, our result can be interpreted as a quasi-local mass type quantity of $ Σ_o$ being greater than or equal to the Hawking mass of $Σ_h$. We further analyze the limit of such quasi-local mass quantity associated with suitably chosen isometric embeddings of large coordinate spheres of an asymptotically flat $3$-manifold $M$ into a spatial Schwarzschild manifold. We show that the limit equals the ADM mass of $M$. It follows that our result on the compact manifold $Ω$ is equivalent to the Riemannian Penrose inequality.

研究动机与目标

• 通过在具有非负标量曲率的紧致流形中引入内极小超曲面，扩展Shi-Tam定理。
• 建立一个涉及史瓦西流形质量、极小超曲面面积以及外边界加权总平均曲率的几何不等式。
• 证明所得不等式在三维情形下等价于黎曼佩尼罗不等式。
• 证明在将大坐标球面等距嵌入史瓦西空间的条件下，与之关联的准局部质量量在渐近极限下等于原始流形的ADM质量。

提出的方法

• 作者在空间史瓦西流形 $ \mathbb{M}^{n+1}_m $ 上使用静态势函数 $ N = \frac{1 - \frac{m}{2}|x|^{1-n}}{1 + \frac{m}{2}|x|^{1-n}} $ 来加权边界分量上的总平均曲率积分。
• 他们推导出一个关键不等式（1.1），其中涉及质量 $ m $、内极小超曲面 $ \Sigma_H $ 的面积，以及 $ \Sigma_O $ 及其史瓦西模型 $ \Sigma $ 上平均曲率的加权积分。
• 证明依赖于外边界 $ \Sigma_O $ 能够等距嵌入到史瓦西流形 $ \mathbb{M}^{n+1}_m $ 中的 $ 2 $-凸超曲面 $ \Sigma $ 中，且满足 $ \overline{\mathrm{Ric}}(\nu,\nu) \leq 0 $。
• 在渐近分析中，他们考虑渐近平坦3-流形 $ M $ 中的大坐标球面 $ S_r $，并将它们的体积和平均曲率积分与模型史瓦西空间中的对应量进行比较。
• 他们计算差值 $ V(r) - V_m(r) $，并证明其渐近行为为 $ 2\pi(\mathfrak{m} - m)r^2 + o(r^2) $，从而将极限与ADM质量 $ \mathfrak{m} $ 联系起来。
• 通过变分解释和准局部质量泛函的极限分析，确立了其与黎曼佩尼罗不等式的等价性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将Shi-Tam定理强化，以包含具有非负标量曲率的紧致流形中内极小超曲面的贡献？
• RQ2 是否存在一个几何不等式，将史瓦西流形的质量、内视界面积与在外边界上经等距嵌入后的总平均曲率关联起来？
• RQ3 通过将大球面等距嵌入史瓦西空间所定义的准局部质量量的极限，是否能恢复原始流形的ADM质量？
• RQ4 所导出的不等式在三维情形下是否等价于黎曼佩尼罗不等式？

主要发现

• 本文建立了不等式 $$ m + \frac{1}{n\omega_n}\int_\Sigma N H_m \, d\sigma \geq \frac{1}{2}\left(\frac{|\Sigma_H|}{\omega_n}\right)^{\frac{n-1}{n}} + \frac{1}{n\omega_n}\int_{\Sigma_O} N H \, d\sigma $$，等号成立当且仅当 $ \Sigma_H $ 非空且 $ H = H_m $。
• 在三维情形下，该不等式表明外边界处的准局部质量至少等于内极小曲面的霍金质量。
• 在渐近平坦3-流形中，沿大坐标球面的准局部质量泛函极限等于ADM质量，即 $$ \lim_{r\to\infty}\left(m + \frac{1}{8\pi}\int_{S_r} N(H_m - H)\,d\sigma\right) = \mathfrak{m} $$。
• 体积差 $ V(r) - V_m(r) $ 渐近满足 $$ V(r) - V_m(r) = 2\pi(\mathfrak{m} - m)r^2 + o(r^2) $$，证明了其与黎曼佩尼罗不等式的等价性。
• 结果在三维情形下等价于黎曼佩尼罗不等式，这一点通过极限行为及填充空间上泛函的变分解释得到确认。