[论文解读] Minimal hypersurfaces in $\HH^n imes \R$, total curvature and index

Pierre Bérard, Ricardo Sá Earp|arXiv (Cornell University)|Aug 28, 2008

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 26被引用 8

一句话总结

本文研究了乘积空间 $ℝ\mathbb{H}^n \times \mathbb{R}$ 中的极小超曲面，重点关注旋转对称的双曲螺线面（catenoids）和具有平移对称性的例子。研究证明了有限总内在曲率蕴含有限指标，且双曲螺线面的指标恰好为 1；同时表明，有限指标并不蕴含有限总曲率——这与欧几里得空间和双曲空间中的结果形成对比。

ABSTRACT

In this paper, we consider minimal hypersurfaces in the product space $\mathbb{H}^n imes \mathbb{R}$. We begin by studying examples of rotation hypersurfaces and hypersurfaces invariant under hyperbolic translations. We then consider minimal hypersurfaces with finite total curvature. This assumption implies that the corresponding curvature goes to zero uniformly at infinity. We show that surfaces with finite total intrinsic curvature have finite index. The converse statement is not true as shown by our examples which also serve as useful barriers.

研究动机与目标

• 分析 $ℝ\mathbb{H}^n \times \mathbb{R}$ 中极小超曲面的几何性质与稳定性，特别是旋转对称的双曲螺线面和具有平移对称性的例子。
• 厘清极小超曲面对应的雅可比算子的有限总曲率与有限指标之间的关系。
• 利用双曲螺线面和平移不变曲面作为工具，建立屏障与对称性结果。
• 将欧几里得空间与双曲空间中的已知结果推广至乘积空间 $ℝ\mathbb{H}^n \times \mathbb{R}$，尤其关注曲率衰减与指标有限性的问题。

提出的方法

• 通过旋转对称性与双曲平移不变性构造极小超曲面的显式例子，包括 $n$-维双曲螺线面 ${\mathcal{C}}_a$ 与平移不变曲面 ${\mathcal{M}}_d$。
• 应用最大值原理与亚历山大洛夫反射原理，推导出边界位于平行截面的极小超曲面的对称性与包含性质。
• 利用西蒙斯方程与德·吉奥吉-莫泽-纳什方法，证明有限总内在曲率蕴含曲率在无穷远处的均匀衰减。
• 通过雅可比算子 $J_M = -\Delta_M - (|A_M|^2 + \widehat{\mathrm{Ric}}(N_M))$ 的谱分析计算超曲面的指标。
• 将双曲螺线面 ${\mathcal{C}}_a$ 作为屏障，证明具有对称边界条件的极小超曲面的唯一性与对称性定理。
• 在维度 $n \geq 3$ 下，以总外曲率建立指标的上界。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $\mathbb{H}^n \times \mathbb{R}$ 中，有限总内在曲率是否蕴含极小超曲面的有限指标？
• RQ2 当极小超曲面的总内在曲率无限时，其指标是否仍可能为有限？
• RQ3 在 $\mathbb{H}^n \times \mathbb{R}$ 中，旋转对称极小超曲面（双曲螺线面）的精确高度上界是多少？
• RQ4 对于 $d < 1$、$d = 1$ 与 $d > 1$，平移不变极小超曲面 ${\mathcal{M}}_d$ 的几何与稳定性有何不同？
• RQ5 双曲螺线面与平移不变曲面在极小超曲面的狄利克雷问题中，作为屏障的适用范围在多大程度上成立？

主要发现

• 在 $n$-维双曲螺线面 ${\mathcal{C}}_a$ 中，其垂直高度被上界 $\pi/(n-1)$ 所限制，且对所有 $a > 0$ 该上界是严格的。
• 双曲螺线面 ${\mathcal{C}}_a$ 的指标恰好为 1，且在每个双曲螺线面上，最大稳定旋转对称区域为整个超曲面去掉一个点。
• 双曲螺线面族 ${\mathcal{C}}_a$ 构成了在双曲平移下不变的超曲面族的包络线。
• 半双曲螺线面 ${\mathcal{C}}_a \cap (\mathbb{H}^n \times \mathbb{R}_+)$ 并非最大稳定，表明稳定性在限制到半空间时并不保持。
• 当 $d < 1$ 时，平移不变曲面 ${\mathcal{M}}_d$ 是 $\mathbb{H}^n$ 上的整个垂直图；当 $d = 1$ 时，它是半空间上一个完整但非整个的垂直图，且边界数据为无穷；当 $d > 1$ 时，它是在等距超曲面外部的双图。
• 有限总内在曲率蕴含曲率在无穷远处均匀趋于零，从而推出有限指标；然而，其逆命题不成立，如存在总内在曲率无限但指标有限的双曲螺线面所示。